La lettre E peut avoir deux significations différentes en mathématiques, selon qu'il s'agit d'un E majuscule ou d'un e minuscule. Vous voyez généralement le E majuscule sur une calculatrice, où cela signifie augmenter le nombre qui vient après à une puissance de 10. Par exemple, 1E6 signifierait 1 × 106, soit 1 million. Normalement, l'utilisation de E est réservée aux nombres qui seraient trop longs pour être affichés sur l'écran de la calculatrice s'ils étaient écrits à la main.
Les mathématiciens utilisent le e minuscule dans un but beaucoup plus intéressant - pour désigner le nombre d'Euler. Ce nombre, comme, est un nombre irrationnel, car il a une décimale non récurrente qui s'étend à l'infini. Comme une personne irrationnelle, un nombre irrationnel semble n'avoir aucun sens, mais le nombre que e désigne n'a pas besoin d'avoir de sens pour être utile. En fait, c'est l'un des nombres les plus utiles en mathématiques.
E dans la notation scientifique et la signification de 1E6
Vous n'avez pas besoin d'une calculatrice pour utiliser E pour exprimer un nombre en notation scientifique. Vous pouvez simplement laisser E représenter la racine de base d'un exposant, mais uniquement lorsque la base est 10. Vous n'utiliseriez pas E pour représenter la base 8, 4 ou toute autre base, surtout si la base est le nombre d'Euler, e.
Lorsque vous utilisez E de cette manière, vous écrivez le nombreXEoui, oùXest le premier ensemble d'entiers du nombre etouiest l'exposant. Par exemple, vous écririez le nombre 1 million sous la forme 1E6. En notation scientifique ordinaire, c'est 1 × 106, ou 1 suivi de 6 zéros. De même, 5 millions vaudraient 5E6 et 42 732 vaudraient 4,27E4. Lorsque vous écrivez un nombre en notation scientifique, que vous utilisiez E ou non, vous arrondissez généralement à deux décimales.
D'où vient le nombre d'Euler, e, ?
Le nombre représenté par e a été découvert par le mathématicien Leonard Euler comme solution à un problème posé par un autre mathématicien, Jacob Bernoulli, 50 ans plus tôt. Le problème de Bernoulli était financier.
Supposons que vous mettiez 1 000 $ dans une banque qui paie 100 % d'intérêts composés annuels et que vous le laissiez là pendant un an. Vous aurez 2 000 $. Supposons maintenant que le taux d'intérêt soit la moitié de celui-ci, mais que la banque le paie deux fois par an. Au bout d'un an, vous auriez 2 250 $. Supposons maintenant que la banque n'ait payé que 8,33 %, soit 1/12 de 100 %, mais qu'elle l'ait payé 12 fois par an. À la fin de l'année, vous auriez 2 613 $. L'équation générale de cette progression est :
\bigg (1 +\frac{r}{n}\bigg)^n
oùrest 1 et n est la période de paiement.
Il s'avère que, lorsque n tend vers l'infini, le résultat se rapproche de plus en plus de e, qui est de 2,7182818284 à 10 décimales. C'est ainsi qu'Euler l'a découvert. Le rendement maximal que vous pourriez obtenir sur un investissement de 1 000 $ en un an serait de 2 718 $.
Le nombre d'Euler dans la nature
Les exposants avec e comme base sont appelés exposants naturels, et voici la raison. Si vous tracez un graphique de
y = e^x
vous obtiendrez une courbe qui augmente de façon exponentielle, comme vous le feriez si vous aviez tracé la courbe avec la base 10 ou tout autre nombre. Cependant, la courbeoui= eXa deux propriétés particulières. Pour toute valeur deX, la valeur deouiest égal à la valeur de la pente du graphique à ce point, et il est également égal à l'aire sous la courbe jusqu'à ce point. Cela fait de e un nombre particulièrement important en calcul et dans tous les domaines scientifiques qui utilisent le calcul.
La spirale logarithmique, qui est représentée par l'équation
r = ae^{bθ}
se trouve dans toute la nature, dans les coquillages, les fossiles et les fleurs. De plus, e se retrouve dans de nombreux contextes scientifiques, y compris les études des circuits électriques, les lois du chauffage et du refroidissement, et l'amortissement des ressorts. Même s'il a été découvert il y a 350 ans, les scientifiques continuent de trouver de nouveaux exemples du nombre d'Euler dans la nature.