Énergie cinétique de rotationdécrit l'énergie du mouvement résultant de la rotation ou du mouvement circulaire d'un objet. Rappeler queénergie cinétique linéaired'une massemse déplacer avec vitessevest donné par 1/2mv2. Il s'agit d'un calcul simple pour tout objet se déplaçant en ligne droite. Il s'applique au centre de masse de l'objet, permettant à l'objet d'être approximé comme une masse ponctuelle.
Maintenant, si nous voulons décrire l'énergie cinétique d'un objet étendu subissant un mouvement plus complexe, le calcul devient plus délicat.
Nous pourrions faire des approximations successives en brisant l'objet étendu en petits morceaux, dont chacun peut être approximé comme un masse ponctuelle, puis calculez l'énergie cinétique linéaire pour chaque masse ponctuelle séparément, et additionnez-les toutes pour trouver le total pour le objet. Plus l'objet est petit, meilleure est l'approximation. Dans la limite où les pièces deviennent infinitésimales, cela peut se faire avec le calcul.
Mais nous avons de la chance! En ce qui concerne le mouvement de rotation, il y a une simplification. Pour un objet en rotation, si nous décrivons sa distribution de masse autour de l'axe de rotation en fonction de son moment d'inertie,
je, nous sommes alors en mesure d'utiliser une simple équation d'énergie cinétique de rotation, discutée plus loin dans cet article.Moment d'inertie
Moment d'inertieest une mesure de la difficulté d'amener un objet à modifier son mouvement de rotation autour d'un axe particulier. Le moment d'inertie d'un objet en rotation dépend non seulement de la masse de l'objet, mais aussi de la façon dont cette masse est répartie autour de l'axe de rotation. Plus la masse est éloignée de l'axe, plus il est difficile de modifier son mouvement de rotation, et donc plus le moment d'inertie est grand.
Les unités SI pour le moment d'inertie sont le kgm2 (ce qui est cohérent avec notre notion selon laquelle cela dépend de la masse et de la distance par rapport à l'axe de rotation). Les moments d'inertie de différents objets peuvent être trouvés dans un tableau ou à partir d'un calcul.
Conseils
Le moment d'inertie de tout objet peut être trouvé en utilisant le calcul et la formule du moment d'inertie d'une masse ponctuelle.
Équation de l'énergie cinétique rotationnelle
La formule de l'énergie cinétique de rotation est donnée par :
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
Oùjeest le moment d'inertie de l'objet etωest la vitesse angulaire de l'objet en radians par seconde (rad/s). L'unité SI pour l'énergie cinétique rotationnelle est le joule (J).
La forme de la formule de l'énergie cinétique rotationnelle est analogue à l'équation de l'énergie cinétique translationnelle; le moment d'inertie joue le rôle de masse et la vitesse angulaire remplace la vitesse linéaire. Notez que l'équation de l'énergie cinétique rotationnelle donne le même résultat pour une masse ponctuelle que l'équation linéaire.
Si nous imaginons une masse ponctuellemse déplaçant dans un cercle de rayonravec vitessev, alors sa vitesse angulaire est ω = v/r et son moment d'inertie est mr2. Les deux équations d'énergie cinétique donnent le même résultat, comme prévu :
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Si un objet est à la fois en rotation et que son centre de masse se déplace le long d'une trajectoire rectiligne (comme c'est le cas avec un pneu qui roule, par exemple), alors leénergie cinétique totaleest la somme de l'énergie cinétique de rotation et des énergies cinétiques de translation :
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Exemples utilisant la formule de l'énergie cinétique rotationnelle
La formule de l'énergie cinétique rotationnelle a de nombreuses applications. Il peut être utilisé pour calculer l'énergie cinétique simple d'un objet en rotation, pour calculer l'énergie cinétique de un objet roulant (un objet subissant à la fois un mouvement de rotation et de translation) et de résoudre d'autres inconnues. Considérez les trois exemples suivants :
Exemple 1:La Terre tourne autour de son axe environ une fois toutes les 24 heures. Si nous supposons qu'il a une densité uniforme, quelle est son énergie cinétique de rotation? (Le rayon de la terre est de 6,37 × 106 m, et sa masse est de 5,97 × 1024 kg.)
Pour trouver l'énergie cinétique de rotation, nous devons d'abord trouver le moment d'inertie. En rapprochant la Terre comme une sphère solide, on obtient :
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2
La vitesse angulaire est de 2π radians/jour. La conversion en rad/s donne :
2\pi\frac{\text{radians}}{\cancel{\text{day}}}\frac{1\cancel{\text{ day}}}{86400\text{ seconds}} = 7.27\times10^ {-5} \text{ rad/s}
L'énergie cinétique de rotation de la Terre est donc :
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\x 10^{29}\text{ J}
Fait amusant: c'est plus de 10 fois l'énergie totale que le soleil émet en une minute !
Exemple 2 :Un cylindre uniforme d'une masse de 0,75 kg et d'un rayon de 0,1 m roule sur le sol à une vitesse constante de 4 m/s. Quelle est son énergie cinétique ?
L'énergie cinétique totale est donnée par :
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
Dans ce cas, I = 1/2 mr2 est le moment d'inertie d'un cylindre solide, etωest liée à la vitesse linéaire via ω = v/r.
En simplifiant l'expression de l'énergie cinétique totale et en ajoutant des valeurs, on obtient :
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{ kg}) (4\texte{ m/s}) = 2,25\texte{ J}
Notez que nous n'avons même pas eu besoin d'utiliser le rayon! Il s'est annulé en raison de la relation directe entre la vitesse de rotation et la vitesse linéaire.
Exemple 3 :Un élève à vélo descend une colline depuis le repos. Si la hauteur verticale de la colline est de 30 m, à quelle vitesse l'élève va-t-il au bas de la colline? Supposons que le vélo pèse 8 kg, le cycliste pèse 50 kg, chaque roue pèse 2,2 kg (inclus dans le poids du vélo) et chaque roue a un diamètre de 0,7 m. Approuver les roues comme des cerceaux et supposer que le frottement est négligeable.
Ici, nous pouvons utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse finale. L'énergie potentielle au sommet de la colline est transformée en énergie cinétique au bas. Cette énergie cinétique est la somme de l'énergie cinétique de translation de l'ensemble du système personne + vélo et des énergies cinétiques de rotation des pneus.
Énergie totale du système :
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9.8\text{ m/s}^2) (30\text{ m}) = 17 052\ texte{ J}
La formule pour l'énergie totale en termes d'énergies cinétiques au bas de la colline est :
E_{tot} = KE_{bas} = \frac{1}{2}I_{pneus}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{pneu} \times r_{pneu}^2)(v/r_{pneu})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{pneu}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{pneu} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Résoudre pourvdonne :
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{pneu} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Enfin, en insérant des chiffres, nous obtenons notre réponse :
v = \sqrt{\frac{17 052\text{ J}}{2,2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}