La trigonométrie peut sembler un sujet assez abstrait. Des termes obscurs comme « péché » et « cos » ne semblent tout simplement pas correspondre à quoi que ce soit dans la réalité, et il est difficile de les comprendre en tant que concepts. Le cercle unitaire aide considérablement à cela, offrant une explication simple des nombres que vous obtenez lorsque vous prenez le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle. Pour tous les étudiants en sciences ou en mathématiques, la compréhension du cercle unité peut vraiment cimenter votre compréhension de la trigonométrie et de l'utilisation des fonctions.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Un cercle unité a un rayon de un. Imaginez unxysystème de coordonnées commençant au centre de ce cercle. Les angles des points sont mesurés à partir de l'endroit oùX= 1 etoui= 0, à droite du cercle. Les angles augmentent à mesure que vous vous déplacez dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
En utilisant ce cadre, etouipour leoui-coordonner etXpour leX-coordonnée du point sur le cercle :
péchéθ = oui
carθ = X
Et par conséquent:
bronzerθ = oui / X
Qu'est-ce que le cercle d'unité ?
Un cercle « unité » a un rayon de 1. En d'autres termes, la distance entre le centre du cercle et n'importe quelle partie du bord est toujours 1. L'unité de mesure n'a pas vraiment d'importance, car la chose la plus importante à propos du cercle unitaire est qu'il rend de nombreuses équations et calculs beaucoup plus simples.
Il sert également de base utile pour examiner les définitions des angles. Imaginez que le centre du cercle se trouve au centre d'un système de coordonnées avec unX-axe horizontal et unoui-axe fonctionnant verticalement. Le cercle traverse leX-axe àX = 1, oui= 0. Les scientifiques et les mathématiciens définissent l'angle à partir de ce point en se déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Alors le pointX =1, oui= 0 sur le cercle fait un angle de 0°.
Les définitions du péché et du cos avec le cercle unité
Les définitions ordinaires de sin, cos et tan données aux élèves se rapportent aux triangles. Ils déclarent :
\sin θ = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Le « opposé » fait référence à la longueur du côté du triangle opposé à l'angle, « adjacent » fait référence au longueur du côté à côté de l'angle et "hypoténuse" fait référence à la longueur du côté diagonal de la Triangle.
Imaginez créer un triangle de sorte que l'hypoténuse soit toujours le rayon du cercle unité, avec un coin au bord du cercle et un en son centre. Cela signifie que hypoténuse = 1 dans les équations ci-dessus, donc les deux premiers deviennent :
\sin θ = \frac{\text{opposé}}{1} = \text{opposé}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adjacent}}{1} = \text{adjacent} \\
Si vous faites de l'angle en question celui au centre du cercle, l'opposé est juste leoui-coordonner et l'adjacent est juste leX-coordonnée du point sur le cercle qui touche le triangle. En d'autres termes, le péché rend leoui-coordonnée sur le cercle unité (en utilisant des coordonnées qui commencent au centre) pour un angle donné et cos renvoie leX-coordonner. C'est pourquoi cos (0) = 1 et sin (0) = 0, car à ce stade ce sont les coordonnées. De même, cos (90) = 0 et sin (90) = 1, car c'est le point avecX= 0 etoui= 1. Sous forme d'équation :
\sin = y \\ \cos θ = x
Les angles négatifs sont également faciles à comprendre sur cette base. Les angles négatifs (mesurés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point de départ) ont le mêmeXcoordonnée comme l'angle positif correspondant, donc :
\cos -θ = \cos θ
Cependant, leoui-les commutateurs de coordonnées, ce qui signifie que
\sin -θ = -\sin θ
La définition du bronzage avec le cercle unité
La définition du bronzage donnée ci-dessus est :
\tan θ = \frac{\sin }{\cos θ}
Mais avec les définitions des cercles unitaires de sin et cos, vous pouvez voir que cela équivaut à :
\tan θ = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
Ou, en termes de coordonnées :
\tan θ = \frac{y}{x}
Ceci explique pourquoi le bronzage n'est pas défini pour 90° ou -270° et 270° ou -90° (oùX= 0), car vous ne pouvez pas diviser par zéro.
Représentation graphique des fonctions trigonométriques
Représenter graphiquement le péché ou le cos devient plus facile lorsque vous pensez au cercle unité. leX-la coordonnée varie progressivement au fur et à mesure que vous vous déplacez autour du cercle, en commençant à 1 et en diminuant jusqu'à un minimum de -1 à 180°, puis en augmentant de la même manière. La fonction sin fait la même chose, mais elle augmente d'abord jusqu'à une valeur maximale de 1 à 90°, avant de suivre le même schéma. Les deux fonctions sont dites déphasées de 90° l'une par rapport à l'autre.
Le bronzage graphique nécessite une divisionouiparX, et est donc plus compliqué à représenter graphiquement, et a également des points où il n'est pas défini.