La plupart des gens se souviennent duThéorème de Pythagorede la géométrie débutante - c'est un classique. C'est
a^2 + b^2 = c^2
oùune, betcsont les côtés d'un triangle rectangle (cest l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut aussi être réécrit pour la trigonométrie !
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Les identités de Pythagore sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques.
Le principalIdentités pythagoriciennessont:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Les identités pythagoriciennes sont des exemples deidentités trigonométriques: égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques.
En quoi est-ce important?
Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier les instructions et les équations trig compliquées. Mémorisez-les maintenant et vous gagnerez beaucoup de temps sur la route !
Preuve en utilisant les définitions des fonctions trigonométriques
Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des fonctions trigonométriques. Par exemple, prouvons que
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Rappelez-vous que la définition du sinus est côté opposé / hypoténuse, et que cosinus est côté adjacent / hypoténuse.
Donc
\sin^2 = \frac{\text{opposé}^2} {\text{hypoténuse}^2}
Et
\cos^2 = \frac{\text{adjacent}^2} {\text{hypoténuse}^2}
Vous pouvez facilement additionner ces deux éléments car les dénominateurs sont les mêmes.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{opposé}^2 + \text{adjacent}^2} {\text{hypoténuse}^2}
Reprenons maintenant le théorème de Pythagore. Il dit queune2 + b2 = c2. Garde en tête queuneetbreprésenter les côtés opposés et adjacents, etcreprésente l'hypoténuse.
Vous pouvez réorganiser l'équation en divisant les deux côtés parc2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Depuisune2 etb2 sont les côtés opposés et adjacents etc2 est l'hypoténuse, vous avez un énoncé équivalent à celui ci-dessus, avec (ci-contre2 + adjacent2) / hypoténuse2. Et grâce au travail avecune, b, cet le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir que cette déclaration est égale à 1 !
Donc
\frac{ \text{opposé}^2 + \text{adjacent}^2} {\text{hypoténuse}^2} = 1
et donc:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(Et il vaut mieux l'écrire correctement: péché2(θ) + cos2(θ) = 1).
Les identités réciproques
Passons quelques minutes à regarder leidentités réciproquesainsi que. Rappelez-vous que leréciproqueest un divisé par (« sur ») votre nombre – également connu sous le nom d'inverse.
Puisque la cosécante est l'inverse du sinus :
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Vous pouvez également penser à la cosécante en utilisant la définition du sinus. Par exemple, sinus = côté opposé / hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction renversée, qui est l'hypoténuse / le côté opposé.
De même, la réciproque du cosinus est sécante, elle est donc définie comme
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ ou } \frac{\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}
Et la réciproque de la tangente est cotangente, donc
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}
Les preuves des identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celles du sinus et du cosinus. Vous pouvez également dériver les équations en utilisant l'équation "parente", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Diviser les deux côtés par cos2(θ) pour obtenir l'identité 1 + tan2(θ) = secondes2(θ). Diviser les deux côtés par le péché2(θ) pour obtenir l'identité 1 + lit bébé2(θ) = csc2(θ).
Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes !