Tout comme en algèbre, lorsque vous commencez à apprendre la trigonométrie, vous accumulerez des ensembles de formules utiles pour la résolution de problèmes. L'un de ces ensembles est constitué des identités demi-angle, que vous pouvez utiliser à deux fins. L'une consiste à convertir les fonctions trigonométriques de (θ/2) en fonctions en termes de plus familier (et plus facilement manipulable)θ. L'autre est de trouver la valeur réelle des fonctions trigonométriques deθ, lorsqueθpeut être exprimé comme la moitié d'un angle plus familier.
Examen des identités demi-angle
De nombreux manuels de mathématiques énuméreront quatre identités primaires de demi-angle. Mais en appliquant un mélange d'algèbre et de trigonométrie, ces équations peuvent être transformées en un certain nombre de formes utiles. Vous n'êtes pas obligé de tous les mémoriser (sauf si votre professeur insiste), mais vous devez au moins comprendre comment les utiliser :
Identité demi-angle pour Sine
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Identité demi-angle pour Cosinus
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Identités demi-angle pour la tangente
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ
Identités demi-angle pour cotangente
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ
Un exemple d'utilisation d'identités en demi-angle
Alors, comment utilisez-vous les identités à demi-angle? La première étape consiste à reconnaître que vous avez affaire à un angle qui est la moitié d'un angle plus familier.
- Quadrant I: toutes les fonctions trigonométriques
- Quadrant II: uniquement sinus et cosécante
- Quadrant III: uniquement tangente et cotangente
- Quadrant IV: uniquement cosinus et sécante
imaginez qu'on vous demande de trouver le sinus de l'angle 15 degrés. Ce n'est pas l'un des angles pour lesquels la plupart des étudiants mémoriseront les valeurs des fonctions trigonométriques. Mais si vous laissez 15 degrés être égaux à /2 et que vous résolvez ensuite pour θ, vous trouverez que :
\frac{θ}{2} = 15 \\ = 30
Parce que le resulting résultant, 30 degrés, est un angle plus familier, l'utilisation de la formule du demi-angle ici sera utile.
Parce qu'on vous a demandé de trouver le sinus, il n'y a vraiment qu'une seule formule de demi-angle à choisir :
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Remplacement dansθ/2 = 15 degrés etθ= 30 degrés vous donne :
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Si on vous avait demandé de trouver la tangente ou la cotangente, les deux multipliant à moitié les manières d'exprimer leur identité de demi-angle, vous choisiriez simplement la version qui vous semble la plus facile à travailler.
Le signe ± au début de certaines identités de demi-angle signifie que la racine en question peut être positive ou négative. Vous pouvez résoudre cette ambiguïté en utilisant votre connaissance des fonctions trigonométriques dans les quadrants. Voici un récapitulatif rapide des fonctions de trig renvoyéespositifvaleurs dans lesquelles quadrants :
Parce que dans ce cas votre angle θ représente 30 degrés, qui tombe dans le quadrant I, vous savez que la valeur sinus qu'il renvoie sera positive. Vous pouvez donc laisser tomber le signe ± et évaluer simplement :
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Remplacez-la par la valeur connue et familière de cos (30). Dans ce cas, utilisez les valeurs exactes (par opposition aux approximations décimales d'un graphique) :
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Ensuite, simplifiez le côté droit de votre équation pour trouver une valeur pour sin (15). Commencez par multiplier l'expression sous le radical par 2/2, ce qui vous donne :
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Cela se simplifie en :
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Vous pouvez alors factoriser la racine carrée de 4:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
Dans la plupart des cas, c'est à peu près aussi loin que vous simplifieriez. Bien que le résultat ne soit peut-être pas très joli, vous avez traduit le sinus d'un angle inconnu en une quantité exacte.