Un polygone est une figure fermée à deux dimensions avec 3 côtés droits ou plus (non incurvés), et un polygone à 12 côtés est connu sous le nom de dodécagone. Un dodécagone régulier est un dodécagone avec des côtés et des angles égaux, et il est possible de dériver une formule pour calculer son aire. Un dodécagone irrégulier a des côtés de longueurs différentes et d'angles différents. Une étoile à six branches en est un exemple. Il n'y a pas de moyen facile de calculer l'aire d'une figure irrégulière à 12 côtés à moins que vous ne l'ayez tracée sur un graphique et que vous puissiez lire les coordonnées de chacun des sommets. Sinon, la meilleure stratégie consiste à diviser la figure en formes régulières dont vous pouvez calculer l'aire.
Calcul de l'aire d'un polygone régulier à 12 côtés
Pour calculer l'aire d'un dodécagone régulier, vous devez trouver son centre, et la meilleure façon de le faire est de tracer un cercle autour de lui qui touche juste chacun de ses sommets. Le centre du cercle est le centre du dodécagone, et la distance du centre de la figure à chacun de ses sommets est simplement le rayon du cercle (
r). Chacun des 12 côtés de la figure a la même longueur, alors notez-le pars.Vous avez besoin d'une mesure supplémentaire, et c'est la longueur d'une ligne perpendiculaire tracée du milieu de chaque côté au centre de la forme à 12 côtés. Cette ligne est connue sous le nom d'apothème. Notons sa longueur parm. Il divise chaque section formée par les lignes de rayon en deux triangles rectangles. Tu ne sais pasm, mais vous pouvez le trouver en utilisant le théorème de Pythagore.
Les 12 lignes de rayon divisent le cercle que vous avez tracé autour du dodécagone en 12 sections égales, donc au centre de la figure, l'angle que chaque ligne fait avec celle d'à côté est de 30 degrés. Chacune des 12 sections formées par les lignes de rayon est composée d'une paire de triangles rectangles avec hypoténuseret un angle de 15 degrés. Le côté adjacent à l'angle estm, vous pouvez donc le trouver en utilisant r et le sinus de l'angle.
\sin (15) = \frac{m}{r} \, \text{ et résoudre pour }m \\ m = r × \sin (15)
Vous pouvez maintenant trouver l'aire de chacun des triangles isocèles inscrits dans le dodécagone, car vous connaissez la longueur de la base - qui ests– et la hauteur,m. L'aire de chaque triangle est
\begin{aligned} \text{area} &= \frac{1}{2} × \text{ base} × \text{ height} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (s × r × \sin (15)) \end{aligned}
Il y a 12 de ces sections, alors multipliez par 12 pour trouver l'aire totale de la forme régulière à 12 côtés :
\text{ Aire de dodécagone régulier} = 6 × (s × r × \sin (15))
Trouver l'aire d'un dodécagone irrégulier
Il n'y a pas de formule pour trouver l'aire d'un dodécagone irrégulier, car les longueurs des côtés et les angles ne sont pas les mêmes. Il est même difficile de localiser le centre. La meilleure stratégie consiste à diviser la figure en formes régulières, à calculer l'aire de chacune et à les additionner.
Si la forme est tracée sur un graphique et que vous connaissez les coordonnées des sommets, il existe une formule que vous pouvez utiliser pour calculer l'aire. Si chaque point (m) est défini par (Xm, ouim), et vous faites le tour de la figure dans l'ordre, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse, pour obtenir une série de 12 points, la zone est :
\text{Zone} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}