Contrairement à un triangle équilatéral avec ses trois côtés et angles égaux, un isocèle avec ses deux côtés égaux, ou un triangle rectangle avec son angle de 90 degrés, un triangle scalène a trois côtés de longueurs aléatoires et trois angles aléatoires. Si vous voulez connaître sa superficie, vous devez faire quelques mesures. Si vous pouvez mesurer la longueur d'un côté et la distance perpendiculaire de ce côté à l'angle opposé, vous disposez de suffisamment d'informations pour calculer l'aire. Il est également possible de calculer l'aire si vous connaissez les longueurs des trois côtés. Déterminer la valeur d'un des angles ainsi que les longueurs des deux côtés qui le forment permet également de calculer l'aire.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
L'aire d'un triangle scalène de base b et de hauteur h est donnée par 1/2 bh. Si vous connaissez les longueurs des trois côtés, vous pouvez calculer l'aire à l'aide de la formule de Heron sans avoir à trouver la hauteur. Si vous connaissez la valeur d'un angle et les longueurs des deux côtés qui le forment, vous pouvez trouver la longueur du troisième côté en utilisant la loi des cosinus, puis utiliser la formule de Heron pour calculer l'aire.
Formule générale pour trouver la zone
Considérons un triangle aléatoire. Il est possible de tracer un rectangle autour de lui qui utilise l'un des côtés comme base (peu importe lequel) et touche juste le sommet du troisième angle. La longueur de ce rectangle est égale à la longueur du côté du triangle qui le forme, que l'on appelle la base (b). Sa largeur est égale à la distance perpendiculaire de la base au sommet, qui est appelée hauteur (h) du triangle.
L'aire du rectangle que vous venez de dessiner est égale àb × h. Cependant, si vous examinez les lignes du triangle, vous verrez qu'elles divisent exactement en deux la paire de rectangles créés par la ligne perpendiculaire de la base au sommet. Ainsi, l'aire à l'intérieur du triangle est exactement la moitié de celle à l'extérieur, ou 1/2bh. Pour tout triangle :
\text{Area} = \frac{1}{2} \text{base} × \text{height}
La formule du héron
Les mathématiciens savent calculer l'aire d'un triangle à trois côtés connus depuis des millénaires. Ils utilisent la formule du héron, du nom du héron d'Alexandrie. Pour utiliser cette formule, vous devez d'abord trouver le demi-périmètre (s) du triangle, ce que vous faites en additionnant les trois côtés et en divisant le résultat par deux. Pour un triangle avec des côtésune, betc, le demi-périmètre
s = \frac{1}{2}(a + b + c)
Une fois que vous savezs, vous calculez l'aire à l'aide de cette formule :
\text{Zone} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}
Utilisation de la loi des cosinus
Considérons un triangle avec trois anglesUNE, BetC. Les longueurs des trois côtés sontune, betc. Le côté a est l'angle opposéUNE, côtébest l'angle opposéB, et côtécest l'angle opposéC. Si vous connaissez l'un des angles - par exemple, l'angleC– et les deux côtés qui le forment – dans ce cas,uneetb– vous pouvez calculer la longueur du troisième côté en utilisant cette formule :
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos (C)
Une fois que vous connaissez la valeur dec, vous pouvez calculer la superficie en utilisant la formule de Heron.