Les mathématiciens ont inventé beaucoup moyens de catégoriser et de classer les nombres en fonction de leurs propriétés, et les premiers entre eux sont l'une des classifications les plus intéressantes de paires de nombres en fonction de leurs facteurs premiers.
Mais trouver deux nombres premiers entre eux n'est pas nécessairement facile, surtout si vous le travaillez à la main. Pour calculer un premier nombre, vous devez d'abord identifier le facteurs premiers d'un nombre, vous pouvez utiliser le résultat de ceci pour trouver d'autres nombres premiers entre eux. Vous pouvez également vérifier si deux nombres sont premiers entre eux, ce qui est un processus plus simple.
Qu'est-ce qu'un coprime ?
Pour tout nombre, un premier nombre est un nombre qui ne partage aucun facteur commun avec lui autre que 1. En d'autres termes, si vous décomposez les deux nombres en leurs facteurs premiers, ils ne partagent que le facteur premier de 1. Ces nombres sont aussi parfois appelés relativement premiers ou mutuellement premiers.
Par exemple, 21 et 22 sont premiers entre eux. Pour 21, les facteurs sont un, trois, sept et 21, mais pour 22, ils sont un, deux, 11 et 22. Parce que le seul membre partagé de ces deux listes est un, cela signifie que 21 et 22 sont premiers entre eux par définition. Bien sûr, ce processus est beaucoup plus difficile à réaliser pour plus grands nombres, qui aura généralement plus de facteurs, mais deux nombres premiers seront automatiquement premiers entre eux par définition (puisqu'ils ne se divisent que par un et eux-mêmes).
Factorisation Premier
La première et la plus importante étape du calcul d'un premier nombre pour un nombre donné consiste à trouver les facteurs premiers du nombre. Vous pouvez suivre ce processus pour n'importe quel nombre de la même manière, mais considérez un exemple spécifique, le nombre 35, pour rendre la procédure plus concrète. La première étape consiste à trouver un nombre premier faible par lequel le nombre est divisible: dans ce cas, cinq est le choix évident. Vous pouvez maintenant utiliser ce nombre pour trouver un autre facteur car il doit être multiplié par quelque chose, dans ce cas sept, pour obtenir le résultat.
Dans ce cas, vous ne pouvez pas trouver de facteurs supplémentaires autres que un et 35 lui-même, vous avez donc terminé le processus. En général, essayez de diviser le nombre par deux, puis par trois, puis cinq et ainsi de suite jusqu'à ce que vous en trouviez un. qui fonctionne (sans reste), puis suivez le même processus avec le résultat, jusqu'à ce que le résultat soit un autre premier.
Par exemple: 60 divise par deux pour donner 30, qui divise par deux pour donner 15, qui se divise ensuite par trois pour donner cinq (un autre nombre premier), donc vous pouvez écrire 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Vous pouvez facilement penser à d'autres nombres (comme six) qui sont des facteurs, mais ceux-ci sont contenus dans le résultat ci-dessus (puisque 6 = 2 × 3, qui est dans la liste). Pour cette raison, aller aux facteurs premiers facilite les choses.
Calculer et vérifier les nombres premiers
Utilisez votre liste de facteurs premiers pour produire un autre nombre qui ne partage pas de facteurs avec le premier (à part un et le nombre d'origine). Pour 35, à part un et 35, il existe des facteurs de cinq et sept, vous savez donc que tout nombre composé de différents nombres premiers est premier entre eux.
Par exemple, vous pouvez produire des nombres premiers entre eux en multipliant 2, 3, 11, 13 et ainsi de suite, ce qui donne :
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
2 × 11 = 22
3 × 11 = 33
2 × 13 = 26
3 × 13 = 39
et autres coprimes
Essayez de trouver des nombres premiers de 60 en utilisant le même processus, en notant que sept, 11, 13, 17 et ainsi de suite sont des « blocs de construction » de nombres premiers acceptables avant de poursuivre votre lecture. Vous devriez trouver (par exemple) 77, 91, 119 et 143 comme premiers entre eux. Vous pouvez également utiliser des astuces supplémentaires, par exemple, un nombre premier non inclus en tant que facteur premier sera toujours premier et deux entiers consécutifs sont toujours premiers.
Vérifiez si deux nombres sont premiers entre eux en factorisant chacun en premier et en recherchant des facteurs communs. Alternativement, vous pouvez utiliser des outils en ligne (voir Ressources) pour automatiser le processus.