En mathématiques, un contre-exemple est utilisé pour réfuter une affirmation. Si vous voulez prouver qu'une affirmation est vraie, vous devez rédiger une preuve pour démontrer qu'elle est toujours vraie; donner un exemple ne suffit pas. Comparé à l'écriture d'une preuve, l'écriture d'un contre-exemple est beaucoup plus simple; si vous voulez montrer qu'une affirmation n'est pas vraie, il vous suffit de fournir un exemple de scénario dans lequel l'affirmation est fausse. La plupart des contre-exemples en algèbre impliquent des manipulations numériques.
Deux classes de mathématiques
La rédaction de preuves et la recherche de contre-exemples sont deux des classes primaires des mathématiques. La plupart des mathématiciens se concentrent sur la rédaction de preuves pour développer de nouveaux théorèmes et propriétés. Lorsque des déclarations ou des conjectures ne peuvent pas être prouvées, les mathématiciens les réfutent en donnant des contre-exemples.
Les contre-exemples sont concrets
Au lieu d'utiliser des variables et des notations abstraites, vous pouvez utiliser des exemples numériques pour réfuter un argument. En algèbre, la plupart des contre-exemples impliquent une manipulation utilisant différents nombres positifs et négatifs ou impairs et pairs, des cas extrêmes et des nombres spéciaux comme 0 et 1.
Un contre-exemple suffit
La philosophie du contre-exemple est que si dans un scénario la déclaration n'est pas vraie, alors la déclaration est fausse. Un exemple non mathématique est "Tom n'a jamais menti". Pour montrer que cette affirmation est vraie, vous devez fournir une "preuve" que Tom n'a jamais menti en suivant chaque affirmation que Tom a jamais faite. Cependant, pour réfuter cette affirmation, il vous suffit de montrer un mensonge que Tom a déjà prononcé.
Contre-exemples célèbres
"Tous les nombres premiers sont impairs." Bien que presque tous les nombres premiers, y compris tous les nombres premiers supérieurs à 3, soient impairs, « 2 » est un nombre premier pair; cette affirmation est fausse; "2" est le contre-exemple pertinent.
"La soustraction est commutative." L'addition et la multiplication sont commutatives - elles peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre. Autrement dit, pour tout nombre réel a et b, a + b = b + a et a * b = b * a. Cependant, la soustraction n'est pas commutative; un contre-exemple prouvant que c'est: 3 - 5 n'est pas égal à 5 - 3.
"Chaque fonction continue est différentiable." La fonction absolue |x| est continue pour tous les nombres positifs et négatifs; mais il n'est pas dérivable en x = 0; depuis |x| est une fonction continue, ce contre-exemple prouve que toutes les fonctions continues ne sont pas dérivables.