¿Alguna vez te has preguntado cuánta agua o café cabe en uno de esos vasos de agua desechables de plástico aparentemente innumerables, de esos que son más estrechos en la base que en la parte superior? En otras palabras, ¿casi todos los vasos de papel, plástico u otros vasos desechables que haya visto o usado? (Para ser justos, algunas tazas no tienen lados inclinados y, por lo tanto, son cilíndricas, pero esto solo parece aplicarse a permanente tazas.)
El tipo de forma descrito anteriormente se basa en un cono, que es el resultado de una línea que recorre el espacio y traza una trayectoria curva como un círculo (en el caso más simple) o una elipse. Una taza no suele ser puntiaguda (algunas que contienen golosinas congeladas lo son), pero sigue siendo un "trozo" de un cono, geométricamente hablando. Eso hace que sea fácil, con paciencia, encontrar el volumen.
El volumen de un cono
La fórmula para el volumen de un cono regular o recto (es decir, uno con una base circular) es
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Dónde r es el radio de la base y h es la altura del cono. Además, dado que desde el lado, un cono recto se ve como dos triángulos rectángulos colocados juntos, la longitud s del lado inclinado del cono tiene el mismo valor que la hipotenusa de uno de estos triángulos. Por tanto, se da aplicando el teorema de Pitágoras: r2 + h2 = s2, entonces
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
El volumen de una taza cónica: primera parte
Supongamos que tiene una taza de 8 centímetros (cm) de ancho en la base, 10 cm de ancho en la parte superior y 15 cm de alto. ¿Cuánto líquido puede contener en cm?3, también llamados mililitros (mL)?
Una forma de abordar este problema es dibujar una sección transversal de la copa, es decir, cómo se ve desde un lado después de haber sido cortada exactamente por la mitad perpendicular a su campo de visión. Si dibuja líneas verticales hacia arriba desde los dos puntos donde la base se encuentra con los lados hasta la parte superior de la taza, ahora ha dividido la sección transversal en dos triángulos rectángulos reflejados iguales y un rectángulo. Los triángulos tienen "patas" largas de 15 cm y "patas" cortas de 1 cm (dividiendo la diferencia entre el ancho de la base y el ancho de la parte superior).
El volumen de una taza cónica: segunda parte
Tenga en cuenta lo que sucede si extiende los lados de la taza en su diagrama hasta un punto debajo de la base. También extienda una línea desde el centro de la parte superior hacia el punto hacia el que convergen estas líneas. (Es posible que no tenga espacio para hacer que los lados se unan y formen un triángulo cerrado, pero acérquese lo más que pueda).
Debido al principio de triángulos semejantes, sabes que la relación entre el cateto largo de los triángulos desde arriba (15 cm) y el cateto pequeño (1 cm) o 15 a 1, debe ser la misma que la relación entre la pierna pequeña y la pierna larga de uno de los triángulos recién creados entre la base de la "taza" y el punto. Dado que la pierna pequeña tiene un valor de 4 cm, la pierna larga debe ser 15 veces mayor, o 60 cm.
Por lo tanto, ahora se trata de la sección transversal de un cono con una altura total de 15 + 60 = 75 cm y un ancho de 10 cm, es decir, un radio de 5 cm. El volumen de este cono menos el volumen del cono que se extiende hasta la base de la taza, que tiene una altura de 60 cm y un ancho de 8 cm (r = 4 cm) da el resultado deseado:
\ begin {alineado} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {alineado}
Por lo tanto, su taza contiene muy cerca de 1 L (1,000 mL) de líquido.
Calculadora de volumen de cono y copa
Consulte los Recursos para obtener una lista de calculadoras que involucran conos dadas diferentes combinaciones iniciales de información. Alternativamente, puede usar un enfoque como el anterior y dividir la taza en diferentes formas, luego usar fórmulas más simples (como la fórmula para el volumen de un cubo) en combinaciones apropiadas para encontrar el total volumen.