En una secuencia geométrica, cada término es igual al término anterior multiplicado por un multiplicador constante distinto de cero llamado factor común. Las secuencias geométricas pueden tener un número fijo de términos o pueden ser infinitas. En cualquier caso, los términos de una secuencia geométrica pueden volverse rápidamente muy grandes, muy negativos o muy cercanos a cero. En comparación con las secuencias aritméticas, los términos cambian mucho más rápidamente, pero mientras que la aritmética infinita Las secuencias aumentan o disminuyen de manera constante, las secuencias geométricas pueden acercarse a cero, dependiendo de la factor.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Una secuencia geométrica es una lista ordenada de números en la que cada término es el producto del término anterior y un multiplicador fijo distinto de cero llamado factor común. Cada término de una secuencia geométrica es la media geométrica de los términos que la preceden y la siguen. Las sucesiones geométricas infinitas con un factor común entre +1 y -1 se acercan al límite de cero como términos se agregan mientras que las secuencias con un factor común mayor que +1 o menor que -1 van a más o menos infinito.
Cómo funcionan las secuencias geométricas
Una secuencia geométrica se define por su número iniciala, el factor comúnry la cantidad de términosS. La forma general correspondiente de una secuencia geométrica es:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
La fórmula general para el términonortede una secuencia geométrica (es decir, cualquier término dentro de esa secuencia) es:
a_n = ar ^ {n-1}
La fórmula recursiva, que define un término con respecto al término anterior, es:
a_n = ra_ {n-1}
Un ejemplo de una secuencia geométrica con el número inicial 3, factor común 2 y ocho términos es 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calculando el último término usando el formulario general mencionado anteriormente, el término es:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Usando la fórmula general para el término 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Si desea utilizar la fórmula recursiva para el término 5, entonces el término 4 = 24 y un5 es igual a:
a_5 = 2 × 24 = 48
Propiedades de secuencia geométrica
Las secuencias geométricas tienen propiedades especiales en lo que respecta a la media geométrica. La media geométrica de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Por ejemplo, la media geométrica de 5 y 20 es 10 porque el producto 5 × 20 = 100 y la raíz cuadrada de 100 es 10.
En sucesiones geométricas, cada término es la media geométrica del término anterior y del término posterior. Por ejemplo, en la secuencia 3, 6, 12... arriba, 6 es la media geométrica de 3 y 12, 12 es la media geométrica de 6 y 24, y 24 es la media geométrica de 12 y 48.
Otras propiedades de las secuencias geométricas dependen del factor común. Si el factor comúnres mayor que 1, las secuencias geométricas infinitas se acercarán al infinito positivo. Sirestá entre 0 y 1, las secuencias se acercarán a cero. Sirestá entre cero y -1, las secuencias se acercarán a cero, pero los términos alternarán entre valores positivos y negativos. Sires menor que -1, los términos tendrán una tendencia hacia el infinito tanto positivo como negativo, ya que alternan entre valores positivos y negativos.
Las secuencias geométricas y sus propiedades son especialmente útiles en modelos científicos y matemáticos de procesos del mundo real. El uso de secuencias específicas puede ayudar con el estudio de poblaciones que crecen a una tasa fija durante períodos de tiempo determinados o inversiones que generan intereses. Las fórmulas generales y recursivas permiten predecir valores precisos en el futuro en función del punto de partida y el factor común.