En matemáticas, una secuencia es cualquier cadena de números dispuestos en orden creciente o decreciente. Una secuencia se convierte en una secuencia geométrica cuando puedes obtener cada número multiplicando el número anterior por un factor común. Por ejemplo, la serie 1, 2, 4, 8, 16... es una sucesión geométrica con el factor común 2. Si multiplica cualquier número de la serie por 2, obtendrá el siguiente número. Por el contrario, la secuencia 2, 3, 5, 8, 14, 22... no es geométrico porque no hay un factor común entre los números. Una secuencia geométrica puede tener un factor común fraccionario, en cuyo caso cada número sucesivo es menor que el anterior. 1, 1/2, 1/4, 1/8... es un ejemplo. Su factor común es 1/2.
El hecho de que una secuencia geométrica tenga un factor común te permite hacer dos cosas. La primera es calcular cualquier elemento aleatorio en la secuencia (que a los matemáticos les gusta llamar "norteth "elemento), y el segundo es encontrar la suma de la secuencia geométrica hasta el
norteth elemento. Cuando sumas la secuencia poniendo un signo más entre cada par de términos, conviertes la secuencia en una serie geométrica.Encontrar el enésimo elemento en una serie geométrica
En general, puede representar cualquier serie geométrica de la siguiente manera:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
dónde "a"es el primer término de la serie y"r"es el factor común. Para comprobar esto, considere la serie en la quea= 1 yr= 2. Obtienes 1 + 2 + 4 + 8 + 16... ¡funciona!
Habiendo establecido esto, ahora es posible derivar una fórmula para el enésimo término de la secuencia (Xnorte).
x_n = ar ^ {(n-1)}
El exponente esnorte- 1 en lugar denortepara permitir que el primer término de la secuencia se escriba comoArkansas0, que es igual a "a."
Verifique esto calculando el cuarto término en la serie de ejemplos.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Calcular la suma de una secuencia geométrica
Si desea sumar una secuencia divergente, que es una con una ración común mayor que 1 o menor que -1, solo puede hacerlo hasta un número finito de términos. Sin embargo, es posible calcular la suma de una secuencia convergente infinita, que es una con una razón común entre 1 y -1.
Para desarrollar la fórmula de la suma geométrica, comience considerando lo que está haciendo. Busca el total de la siguiente serie de adiciones:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Cada término de la serie esArkansask, ykva de 0 anorte− 1. La fórmula para la suma de la serie utiliza el signo sigma mayúscula - ∑ - que significa sumar todos los términos de (k= 0) a (k = norte − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Para verificar esto, considere la suma de los primeros 4 términos de la serie geométrica que comienza en 1 y tiene un factor común de 2. En la fórmula anterior,a = 1, r= 2 ynorte= 4. Conectando estos valores, obtienes:
1 \ bigg (\ frac {1-2 ^ 4} {1-2} \ bigg) = 15
Esto es fácil de verificar agregando los números de la serie usted mismo. De hecho, cuando necesita la suma de una serie geométrica, generalmente es más fácil sumar los números usted mismo cuando solo hay unos pocos términos. Sin embargo, si la serie tiene una gran cantidad de términos, es mucho más fácil usar la fórmula de suma geométrica.