Cómo resolver desigualdades lineales

Digamos que tienes que ir de compras y tienes un presupuesto limitado. Quieres comprar pasta y pan para un grupo grande, pero no puedes gastar más de veinte dólares. En teoría, podrías comprar solo pan y nada de pasta, o mucho pan y solo una caja de pasta. ¿Cuántas combinaciones diferentes de cajas de pasta y hogazas de pan podrías comprar? ¿Y cómo puede sacar el máximo provecho de cada uno por su dinero?

Problemas como estos se llamandesigualdades lineales: ecuaciones cuya gráfica es una línea, pero en lugar de usar el signo igual, usan símbolos de desigualdad como> o <.>

TL; DR (demasiado largo; No leí)

Para resolver una desigualdad lineal, debes encontrar todas las combinaciones deXyyque hacen que la desigualdad sea verdadera. Puedes resolver desigualdades lineales usando álgebra o graficando.

​A​ ​resolver una desigualdad lineal(o cualquier ecuación), tienes que encontrar todas las combinaciones deXyyque hacen que esa ecuación sea verdadera.

Puedes resolver desigualdades lineales algebraicamente o puedes representar las soluciones en una gráfica (¡o ambas!). Repasemos juntos algunos problemas de ejemplo.

Este proceso escasilo mismo que resolver una ecuación lineal, pero con una excepción clave. Eche un vistazo al problema a continuación.

Primero, obtenga todos losX-es en el mismo lado del signo "mayor que". AgregarXa ambos lados para cancelar elXen el lado derecho y solo tenerXa la izquierda.

Ahora agregue seis a ambos lados:

Hasta ahora esto ha sido exactamente como cualquier ecuación lineal. ¡Pero ahora las cosas están a punto de cambiar!Cuando divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe cambiar la dirección del símbolo de desigualdad​.

Entonces para −3X> 18, vamos a dividir ambos lados por −3, y luego vamos a cambiar el signo> por un signo <.>

¿Qué tal graficar? Una vez más, el proceso es muy similar a las ecuaciones lineales, pero hay una diferencia importante. Ya que tienes que indicartodasde las combinaciones deXyyque hacen que una desigualdad sea verdadera, graficará la línea como de costumbre y luego sombreará la sección del gráfico que le da el resto de las posibles soluciones.

Por ejemplo, ¿cómo graficaría la desigualdady​ < 3​X​ + 6?

Primero, notarías que la desigualdad está enforma pendiente-intersección, lo que significa que podemos usar ely-intercepto y la pendiente para graficar rápidamente la línea.

Lay-intercepto es 6, entonces dibuja un punto en (0, 6), luego usa el hecho de que la pendiente es 3 para subir tres unidades y una unidad a la derecha, luego dibuja un punto. Su punto debe estar en (1, 9). Para hacer una línea limpia y bonita, es bueno obtener tres puntos, así que dibuja un punto más comenzando en (1, 9) y subiendo tres, sobre uno nuevamente. Obtendrás un punto en (2, 12). Ahora dibuja una línea conectando los puntos.

¡Estupendo! Acabas de graficar la igualdady​ = 3​X+ 6, pero recuerde que la ecuación original esy​ < 3​X+ 6. Utilice este sencillo truco para sombrear la parte correcta del gráfico:cuando la desigualdad está en forma pendiente-intersección, si tieneyy>, luego sombree todo lo que esté por encima de la línea.​

¡Pero verifique dos veces para asegurarse! Cuando sombrea una sección completa del gráfico, significa que cualquiera de esos puntos debería hacer que la ecuación sea verdadera. Coge un punto aleatorio que hayas sombreado y conectaXyyen la desigualdad original. Si funciona, está listo para comenzar. Si no es así, debe volver a verificar sus gráficos y / o su álgebra.

Una última cosa:cuando tienes> o ​ ≤, ​la línea debe ser sólida.Esto muestra si los puntos de la línea en sí están incluidos en la solución.

Resolver un sistema de desigualdades lineales es muy similar a resolver sistemas de ecuaciones.Graficares la forma más sencilla de resolver desigualdades lineales.

Para graficar un sistema de desigualdades lineales, grafica tu primera desigualdad como lo hiciste arriba y sombrea las áreas arriba o debajo de tu línea. Luego grafica la segunda desigualdad. Una vez más, sombreará todas las secciones del gráfico que hacen que la desigualdad sea verdadera. La mayoría de las veces, habrá un área en el gráfico sobre la que ha sombreado dos veces. Este es elsoluciónal sistema de desigualdades, porque esla sección del gráfico donde ambas desigualdades son verdaderas​.