Forma estándar de una línea

Puede representar cualquier línea que pueda graficar en un eje x-y bidimensional mediante una ecuación lineal. Una de las expresiones algebraicas más simples, una ecuación lineal es aquella que relaciona la primera potencia de x con la primera potencia de y. Una ecuación lineal puede asumir una de tres formas: la forma de punto de pendiente, la forma de pendiente-intersección y la forma estándar. Puede escribir la forma estándar en una de dos formas equivalentes. El primero es:

Ax + Por + C = 0

donde A, B y C son constantes. La segunda forma es:

Ax + Por = C

Tenga en cuenta que se trata de expresiones generalizadas y que las constantes de la segunda expresión no son necesariamente las mismas que las de la primera. Si desea convertir la primera expresión a la segunda para valores particulares de A, B y C, tendría que escribir

Ax + Por = -C

Derivación de la forma estándar para una ecuación lineal

Una ecuación lineal define una línea en el eje x-y. Elegir dos puntos cualesquiera en la línea, (x

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1, y1) y (x2, y2), le permite calcular la pendiente de la línea (m). Por definición, es el "aumento durante la carrera" o el cambio en la coordenada y dividido por el cambio en la coordenada x.

m = \ frac {∆y} {∆x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}

Ahora deja (X1, ​y1) ser un punto en particular (a​, ​B) y deja (X2, ​y2) ser indefinido, es decir, todos los valores deXyy. La expresión de pendiente se convierte en

m = \ frac {y - b} {x - a}

que simplifica a

m (x - a) = y - b

Esta es la forma del punto de pendiente de la línea. Si en lugar de (a​, ​B) eliges el punto (0,B), esta ecuación se convierte enmx​ = ​y​ − ​B. Reorganizando para ponerypor sí mismo en el lado izquierdo le da la forma de intersección de la pendiente de la línea:

y = mx + b

La pendiente suele ser un número fraccionario, así que sea igual a -A​/​B. Luego puede convertir esta expresión a la forma estándar de una línea moviendo elXtérmino y constante al lado izquierdo y simplificando:

Ax + Por = C

dóndeC​ = ​Cama y desayunoo

Ax + Por + C = 0

dóndeC​ = −​Cama y desayuno

Ejemplo 1

Convertir a forma estándar:

y = \ frac {3} {4} x + 2

    4y = 3x + 2

    4 años - 3x = 2

    3x - 4y = 2

    Esta ecuación está en forma estándar.A​ = 3, ​B= −2 yC​ = 2

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación en forma estándar de la línea que pasa por los puntos (-3, -2) y (1, 4).

    \ begin {alineado} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ end {alineado}

    La forma genérica de punto de pendiente es

    m (x - a) = y - b

    Si usa el punto (1, 4), esto se convierte en

    2 (x - 1) = y - 4

    2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0

    Esta ecuación está en forma estándarHacha​ + ​Por​ + ​C= 0 dondeA​ = 2, ​B= −1 yC​ = 2

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