¿Qué son los números reales?

Los números reales son todos los números en una recta numérica que se extiende desde el infinito negativo a través del cero hasta el infinito positivo. Esta construcción del conjunto de números reales no es arbitraria, sino más bien el resultado de una evolución de los números naturales utilizados para contar. El sistema de números naturales tiene varias inconsistencias y, a medida que los cálculos se volvieron más complejos, el sistema numérico se expandió para abordar sus limitaciones. Con números reales, los cálculos dan resultados consistentes y hay pocas excepciones o limitaciones como las que estaban presentes con las versiones más primitivas del sistema numérico.

TL; DR (demasiado largo; No leí)

El conjunto de números reales consta de todos los números en una recta numérica. Esto incluye números naturales, números enteros, enteros, números racionales y números irracionales. No incluye números imaginarios ni complejos.

El cierre es la propiedad de un conjunto de números, lo que significa que si los cálculos permitidos se realizan en números que son miembros del conjunto, las respuestas también serán números que son miembros del conjunto. Se dice que el set está cerrado.

Los números naturales son los números de conteo, 1, 2, 3..., y el conjunto de números naturales no es cerrado. Como los números naturales se utilizaron en el comercio, surgieron inmediatamente dos problemas. Mientras que los números naturales contaban objetos reales, por ejemplo vacas, si un granjero tenía cinco vacas y vendía cinco vacas, no había un número natural para el resultado. Los primeros sistemas numéricos desarrollaron muy rápidamente un término para cero para abordar este problema. El resultado fue el sistema de números enteros, que son los números naturales más cero.

El segundo problema también se asoció con la resta. Mientras los números contaran objetos reales como vacas, el granjero no podría vender más vacas de las que tenía. Pero cuando los números se volvieron abstractos, restar números más grandes de los más pequeños dio respuestas fuera del sistema de números enteros. Como resultado, se introdujeron los números enteros, que son los números enteros más los números naturales negativos. El sistema numérico ahora incluía una recta numérica completa pero solo con números enteros.

Los cálculos en un sistema numérico cerrado deben dar respuestas desde dentro del sistema numérico para operaciones como la suma y la multiplicación, sino también para sus operaciones inversas, resta y división. El sistema de números enteros está cerrado para la suma, resta y multiplicación, pero no para la división. Si un número entero se divide por otro número entero, el resultado no siempre es un número entero.

Dividir un número entero pequeño por uno más grande da una fracción. Estas fracciones se agregaron al sistema numérico como números racionales. Los números racionales se definen como cualquier número que se pueda expresar como una razón de dos enteros. Cualquier número decimal arbitrario se puede expresar como un número racional. Por ejemplo, 2.864 es 2864/1000 y 0.89632 es 89632 / 100,000. La recta numérica ahora parecía completa.

Hay números en la recta numérica que no se pueden expresar como una fracción de números enteros. Uno es la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y la hipotenusa. Si dos de los lados de un triángulo rectángulo son 1 y 1, la hipotenusa es la raíz cuadrada de 2. La raíz cuadrada de dos es un decimal infinito que no se repite. Estos números se denominan irracionales e incluyen todos los números reales que no son racionales. Con esta definición, la recta numérica de todos los números reales está completa porque cualquier otro número real que no sea racional se incluye en la definición de irracional.

Aunque se dice que la recta numérica real se extiende desde el infinito negativo al positivo, el infinito en sí no es un número real, sino más bien un concepto del sistema numérico que lo define como una cantidad mayor que cualquier número. Matemáticamente, el infinito es la respuesta a 1 / x cuando x llega a cero, pero la división por cero no está definida. Si el infinito fuera un número, conduciría a contradicciones porque el infinito no sigue las leyes de la aritmética. Por ejemplo, infinito más 1 sigue siendo infinito.

El conjunto de números reales está cerrado para sumas, restas, multiplicaciones y divisiones excepto para la división por cero, que no está definida. El conjunto no se cierra para al menos otra operación.

Las reglas de la multiplicación en el conjunto de números reales especifican que la multiplicación de un negativo y un número positivo da un número negativo, mientras que la multiplicación de números positivos o negativos da positivo respuestas. Esto significa que el caso especial de multiplicar un número por sí mismo produce un número positivo tanto para números positivos como negativos. La inversa de este caso especial es la raíz cuadrada de un número positivo, lo que da una respuesta tanto positiva como negativa. Para la raíz cuadrada de un número negativo, no hay respuesta en el conjunto de números reales.

El concepto de conjunto de números imaginarios aborda el problema de las raíces cuadradas negativas en los números reales. La raíz cuadrada de menos 1 se define como i y todos los números imaginarios son múltiplos de i. Para completar la teoría de números, el conjunto de números complejos se define como que incluye todos los números reales e imaginarios. Los números reales se pueden seguir visualizando en una recta numérica horizontal, mientras que los números imaginarios son una recta numérica vertical, con los dos cruzando en cero. Los números complejos son puntos en el plano de las dos rectas numéricas, cada una con un componente real y otro imaginario.