Cuando comienza con tres ecuaciones y tres incógnitas (variables), puede pensar que tiene suficiente información para resolver todas las variables. Sin embargo, al resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de eliminación, puede encontrar que el sistema no está lo suficientemente determinado para encontrar una respuesta única, y en su lugar, un número infinito de soluciones es posible. Esto ocurre cuando la información de una de las ecuaciones del sistema es redundante con la información contenida en las otras ecuaciones.
Un ejemplo de 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Este sistema de ecuaciones es claramente redundante. Puede crear una ecuación a partir de la otra simplemente multiplicando por una constante. En otras palabras, transmiten la misma información. A pesar de que existen dos ecuaciones para las dos incógnitas, xey, la solución de este sistema no puede reducirse a un valor para x y un valor para y. (x, y) = (1,1) y (5 / 3,0) ambos lo resuelven, al igual que muchas más soluciones. Este es el tipo de "problema", esta insuficiencia de información, que también conduce a un número infinito de soluciones en sistemas de ecuaciones más grandes.
Un ejemplo de 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Los guiones bajos se usan simplemente para mantener el espacio.] Por el método de eliminación, elimine x de la segunda fila restando la segunda fila de la primera, dando x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Elimina x de la tercera fila restando la tercera fila de la primera. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 Claramente, las dos últimas ecuaciones son equivalentes. y es igual a 5, y la primera ecuación se puede simplificar eliminando y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 o x + z = 5 y = 5 Tenga en cuenta que el método de eliminación no producirá una forma triangular agradable aquí, como ocurre cuando hay una única solución. En cambio, la última ecuación (si no más) se absorberá en las otras ecuaciones. El sistema ahora tiene tres incógnitas y solo dos ecuaciones. El sistema se denomina "subdeterminado" porque no hay suficientes ecuaciones para determinar el valor de todas las variables. Son posibles un número infinito de soluciones.
Cómo escribir la solución infinita
La solución infinita para el sistema anterior se puede escribir en términos de una variable. Una forma de escribirlo es (x, y, z) = (x, 5,5-x). Dado que x puede tomar una cantidad infinita de valores, la solución puede tomar una cantidad infinita de valores.