Todo estudiante de álgebra en niveles superiores necesita aprender a resolver ecuaciones cuadráticas. Estos son un tipo de ecuación polinomial que incluye una potencia de 2 pero ninguna mayor, y tienen la forma general:hacha2 + bx + C= 0. Puedes resolverlos usando la fórmula de la ecuación cuadrática, factorizando o completando el cuadrado.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Primero busque una factorización para resolver la ecuación. Si no hay uno más que elBcoeficiente es divisible por 2, completa el cuadrado. Si ninguno de los enfoques es fácil, use la fórmula de la ecuación cuadrática.
Usar factorización para resolver la ecuación
La factorización aprovecha el hecho de que el lado derecho de la ecuación cuadrática estándar es igual a cero. Esto significa que si puede dividir la ecuación en dos términos entre paréntesis multiplicados por el otro, puede resolver las soluciones pensando en qué haría que cada paréntesis sea igual a cero. Para dar un ejemplo concreto:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Compare esto con la forma estándar:
ax ^ 2 + bx + c = 0
En el ejemplo,a = 1, B= 6 yC= 9. El desafío de factorizar es encontrar dos números que se sumen para dar el número en elBubicar y multiplicar juntos para obtener el número en el lugar paraC.
Entonces, representar los números porDymi, busca números que satisfagan:
d + e = b
O en este caso, conB = 6:
d + e = 6
Y
d × e = c
O en este caso, conC = 9:
d × e = 9
Concéntrese en encontrar números que sean factores deCy luego súmelos para ver si son igualesB. Cuando tenga sus números, colóquelos en el siguiente formato:
(x + d) (x + e)
En el ejemplo anterior, ambosDymison 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Si multiplica los corchetes, terminará con la expresión original nuevamente, y esta es una buena práctica para verificar su factorización. Puede ejecutar este proceso (multiplicando la primera, interior, exterior y luego la última parte de los corchetes sucesivamente; consulte Recursos para obtener más detalles) para verlo al revés:
\ begin {alineado} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {alineado}
La factorización efectivamente atraviesa este proceso a la inversa, pero puede ser un desafío resolver el forma correcta de factorizar la ecuación cuadrática, y este método no es ideal para todas las ecuaciones cuadráticas para este razón. A menudo tienes que adivinar una factorización y luego verificarla.
El problema ahora es hacer que cualquiera de las expresiones entre paréntesis sea igual a cero a través de su elección de valor paraX. Si alguno de los corchetes es igual a cero, toda la ecuación es igual a cero y has encontrado una solución. Mira la última etapa [(X + 3) (X+ 3) = 0] y verá que la única vez que los corchetes salen a cero es siX= −3. En la mayoría de los casos, sin embargo, las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones.
La factorización es aún más desafiante siano es igual a uno, pero centrarse en casos simples es mejor al principio.
Completar el cuadrado para resolver la ecuación
Completar el cuadrado te ayuda a resolver ecuaciones cuadráticas que no se pueden factorizar fácilmente. Este método puede funcionar para cualquier ecuación cuadrática, pero algunas ecuaciones se adaptan más que otras. El enfoque implica convertir la expresión en un cuadrado perfecto y resolver eso. Un cuadrado perfecto genérico se expande así:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, obtenga la expresión en la forma en el lado derecho de la anterior. Primero divida el número en elBposición por 2, y luego cuadre el resultado. Entonces, para la ecuación:
x ^ 2 + 8x = 0
El coeficienteB= 8, entoncesB÷ 2 = 4 y (B ÷ 2)2 = 16.
Agregue esto a ambos lados para obtener:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Tenga en cuenta que esta forma coincide con la forma cuadrada perfecta, conD= 4, entonces 2D= 8 yD2 = 16. Esto significa que:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Inserte esto en la ecuación anterior para obtener:
(x + 4) ^ 2 = 16
Ahora resuelve la ecuación paraX. Saca la raíz cuadrada de ambos lados para obtener:
x + 4 = \ sqrt {16}
Resta 4 de ambos lados para obtener:
x = \ sqrt {16} - 4
La raíz puede ser positiva o negativa, y tomando la raíz negativa se obtiene:
x = -4 - 4 = -8
Encuentra la otra solución con la raíz positiva:
x = 4 - 4 = 0
Por lo tanto, la única solución distinta de cero es −8. Verifique esto con la expresión original para confirmar.
Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
La fórmula de la ecuación cuadrática parece más complicada que los otros métodos, pero es el método más confiable y puede usarlo en cualquier ecuación cuadrática. La ecuación usa los símbolos de la ecuación cuadrática estándar:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Y afirma que:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Inserta los números apropiados en sus lugares y trabaja en la fórmula para resolver, recordando intentar tanto restar como sumar el término de raíz cuadrada y anotar ambas respuestas. Para el siguiente ejemplo:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Tu tienesa = 1, B= 6 yC= 5. Entonces la fórmula da:
\ begin {alineado} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {alineado}
Tomando el signo positivo da:
\ begin {alineado} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {alineado}
Y tomando el signo negativo da:
\ begin {alineado} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {alineado}
Cuáles son las dos soluciones para la ecuación.
Cómo determinar el mejor método para resolver ecuaciones cuadráticas
Busque una factorización antes de intentar cualquier otra cosa. Si puede encontrar una, esta es la forma más rápida y sencilla de resolver una ecuación cuadrática. Recuerde que está buscando dos números que sumen elBcoeficiente y multiplique para obtener elCcoeficiente. Para esta ecuación:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Puedes ver que 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6, entonces:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
YX= −2 oX = −3.
Si no puede ver una factorización, verifique si elBEl coeficiente es divisible por 2 sin recurrir a fracciones. Si es así, completar el cuadrado es probablemente la forma más fácil de resolver la ecuación.
Si ninguno de los enfoques parece adecuado, utilice la fórmula. Este parece ser el enfoque más difícil, pero si estás en un examen o estás presionado por el tiempo, puede hacer que el proceso sea mucho menos estresante y mucho más rápido.