Al igual que en álgebra, cuando empiece a aprender trigonometría, acumulará conjuntos de fórmulas que son útiles para resolver problemas. Uno de esos conjuntos son las identidades de medio ángulo, que puede utilizar para dos propósitos. Uno es convertir funciones trigonométricas de (θ/ 2) en funciones en términos de los más familiares (y más fáciles de manipular)θ. El otro es encontrar el valor real de las funciones trigonométricas deθ, Cuándoθse puede expresar como la mitad de un ángulo más familiar.
Revisión de las identidades de medio ángulo
Muchos libros de texto de matemáticas enumeran cuatro identidades principales de medio ángulo. Pero al aplicar una combinación de álgebra y trigonometría, estas ecuaciones pueden transformarse en varias formas útiles. No necesariamente tienes que memorizar todos estos (a menos que tu maestro insista), pero debes, al menos, entender cómo usarlos:
Identidad de medio ángulo para seno
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Identidad de medio ángulo para coseno
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Identidades de medio ángulo para tangente
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Identidades de medio ángulo para cotangente
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Un ejemplo de uso de identidades de medio ángulo
Entonces, ¿cómo se usan las identidades de medio ángulo? El primer paso es reconocer que se trata de un ángulo que es la mitad de un ángulo más familiar.
- Cuadrante I: todas las funciones trigonométricas
- Cuadrante II: solo seno y cosecante
- Cuadrante III: solo tangente y cotangente
- Cuadrante IV: solo coseno y secante
imagina que se te pide que encuentres el seno del ángulo de 15 grados. Este no es uno de los ángulos para los que la mayoría de los estudiantes memorizarán los valores de las funciones trigonométricas. Pero si deja que 15 grados sea igual a θ / 2 y luego resuelve para θ, encontrará que:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Debido a que el θ resultante, 30 grados, es un ángulo más familiar, usar la fórmula de medio ángulo aquí será útil.
Debido a que se le ha pedido que encuentre el seno, en realidad solo hay una fórmula de medio ángulo para elegir:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Sustituyendo enθ/ 2 = 15 grados yθ= 30 grados te da:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Si le pidieran que encontrara la tangente o la cotangente, las cuales multiplican por la mitad las formas de expresar su identidad de medio ángulo, simplemente elegiría la versión que le pareciera más fácil de trabajar.
El signo ± al comienzo de algunas identidades de medio ángulo significa que la raíz en cuestión podría ser positiva o negativa. Puede resolver esta ambigüedad utilizando su conocimiento de funciones trigonométricas en cuadrantes. Aquí hay un resumen rápido de las funciones trigonométricas que regresanpositivovalores en qué cuadrantes:
Debido a que en este caso su ángulo θ representa 30 grados, que cae en el Cuadrante I, sabe que el valor del seno que devuelve será positivo. Entonces puede quitar el signo ± y simplemente evaluar:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Sustituya el valor conocido y familiar de cos (30). En este caso, use los valores exactos (a diferencia de las aproximaciones decimales de un gráfico):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Luego, simplifica el lado derecho de tu ecuación para encontrar un valor para sin (15). Comience multiplicando la expresión debajo del radical por 2/2, lo que le da:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Esto se simplifica a:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Luego puede factorizar la raíz cuadrada de 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
En la mayoría de los casos, esto es todo lo que simplificaría. Si bien el resultado puede no ser muy bonito, ha traducido el seno de un ángulo desconocido en una cantidad exacta.