Encontrar el máximo factor común, o MCD, de dos números es útil en muchas situaciones en matemáticas, pero particularmente cuando se trata de simplificar fracciones. Si está luchando con esto o está encontrando denominadores comunes, aprender dos métodos para encontrar factores comunes lo ayudará a lograr lo que se propone hacer. Primero, sin embargo, es una buena idea aprender los conceptos básicos de los factores; luego, puede mirar dos enfoques para encontrar factores comunes. Finalmente, puede ver cómo aplicar sus conocimientos para simplificar una fracción.
¿Qué es un factor?
Los factores son los números que se multiplican para producir otro número. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6, porque 2 × 3 = 6. De manera similar, 3 y 3 son factores de 9, porque 3 × 3 = 9. Como sabrá, los números primos son números que no tienen más factores que ellos mismos y 1. Entonces, 3 es un número primo, porque los únicos dos números enteros (enteros) que se pueden multiplicar para dar 3 como respuesta son 3 y 1. De la misma manera, 7 es un número primo y también lo es 13.
Debido a esto, a menudo es útil dividir un número en "factores primos". Esto significa encontrar todos los factores de números primos de otro número. Básicamente, divide el número en sus "bloques de construcción" fundamentales, lo que es un paso útil hacia encontrar el máximo común divisor de dos números y también es invaluable cuando se trata de simplificar el cuadrado raíces.
Encontrar el máximo factor común: método uno
El método más simple para encontrar el máximo factor común de dos números es simplemente enumerar todos los factores de cada número y buscar el número más alto que ambos comparten. Imagina que quieres encontrar el máximo común divisor de 45 y 60. Primero, mira los diferentes números que puedes multiplicar para producir 45.
La forma más fácil de comenzar es con los dos que sabe que funcionarán, incluso para un número primo. En este caso, sabemos que 1 × 45 = 45, por lo que sabemos que 1 y 45 son factores de 45. Estos son los primeros y últimos factores de 45, por lo que puede completarlos desde allí. A continuación, averigüe si 2 es un factor. Esto es fácil, porque cualquier número par será divisible por 2 y cualquier número impar no. Entonces sabemos que 2 no es un factor de 45. ¿Qué hay de 3? Debería poder detectar que 3 es un factor de 45, porque 3 × 15 = 45 (siempre puede construir sobre lo que saber resolver esto, por ejemplo, sabrá que 3 × 12 = 36, y agregar tres a esto lo lleva a 45).
A continuación, ¿es 4 un factor de 45? No, ya sabes 11 × 4 = 44, ¡así que no puede ser! A continuación, ¿qué pasa con 5? Este es otro sencillo, porque cualquier número que termine en 0 o 5 es divisible por 5. Y con esto, puedes detectar fácilmente que 5 × 9 = 45. Pero 6 no es bueno porque 7 × 6 = 42 y 8 × 6 = 48. A partir de esto, también puede ver que 7 y 8 no son factores de 45. Ya sabemos que el 9 lo es, y es fácil ver que el 10 y el 11 no son factores. Continúe con este proceso y verá que 15 es un factor, pero nada más lo es.
Entonces, los factores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
Para 60, se ejecuta exactamente el mismo proceso. Esta vez el número es par (para que sepa que 2 es un factor) y divisible por 10 (por lo que 5 y 10 son ambos factores), lo que facilita un poco las cosas. Después de pasar por el proceso nuevamente, debería ver que los factores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.
La comparación de las dos listas muestra que 15 es el máximo común divisor de 45 y 60. Este método puede llevar mucho tiempo, pero es simple y siempre funcionará. También puede comenzar con cualquier factor común alto que pueda detectar de inmediato y luego simplemente buscar factores más altos de cada número.
Hallar el máximo factor común: método dos
El segundo método para encontrar el MCD de dos números es usar factores primos. El proceso de factorización prima es un poco más fácil y más estructurado que encontrar todos los factores. Repasemos el proceso para 42 y 63.
El proceso de factorización prima básicamente implica descomponer el número hasta que solo te queden números primos. Es mejor comenzar con el primo más pequeño (dos) y trabajar desde allí. Entonces, para 42, es fácil ver que 2 × 21 = 42. Luego trabaja a partir de 21: ¿2 es un factor? No. ¿Es 3? ¡Sí! 3 × 7 = 21, y 3 y 7 son ambos números primos. Esto significa que los factores primos de 42 son 2, 3 y 7. El primer "descanso" usó 2 para llegar a 21, y el segundo lo dividió en 3 y 7. Puede verificar esto multiplicando todos sus factores y verificando que obtenga el número original: 2 × 3 × 7 = 42.
Para 63, 2 no es un factor, pero 3 lo es, porque 3 × 21 = 63. Nuevamente, 21 se divide en 3 y 7, ambos primos, ¡para que conozca los factores primos! La verificación muestra que 3 × 3 × 7 = 63, según sea necesario.
El factor común más alto se encuentra al observar qué factores primos tienen en común los dos números. En este caso, 42 tiene 2, 3 y 7, y 63 tiene 3, 3 y 7. Tienen 3 y 7 en común. Para encontrar el factor común más alto, multiplique todos los factores primos comunes juntos. En este caso, 3 × 7 = 21, por lo que 21 es el máximo común divisor de 42 y 63.
El ejemplo anterior también se puede resolver más rápidamente de esta manera. Como 45 es divisible por tres (3 × 15 = 45) y 15 también es divisible por tres (3 × 5 = 15), los factores primos de 45 son 3, 3 y 5. Para 60, es divisible por dos (2 × 30 = 60), 30 también es divisible por dos (2 × 15 = 30), y luego te quedas con 15, que sabemos que tiene tres y cinco como factores primos, dejando 2, 2, 3 y 5. Comparando las dos listas, tres y cinco son los factores primos comunes, por lo que el máximo factor común es 3 × 5 = 15.
En el caso de que haya tres o más factores primos comunes, multiplíquelos todos juntos de la misma manera para encontrar el máximo factor común.
Simplificar fracciones con factores comunes
Si se le presenta una fracción como 32/96, puede hacer que los cálculos posteriores sean muy complicados, a menos que pueda encontrar una manera de simplificar la fracción. Encontrar el factor común más bajo de 32 y 96 te dirá el número por el que dividir ambos para obtener una fracción más simple. En este caso:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \ text {Entonces} 32 = 2 ^ 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Para 96, el proceso da:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \ text {Entonces} 96 = 2 ^ 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Debe quedar claro que 25 = 32 es el factor común más alto. Dividiendo ambas partes de la fracción por 32 da:
\ frac {32} {96} = \ frac {1} {3}
Encontrar denominadores comunes es un proceso similar. Imagina que tuvieras que sumar las fracciones 15/45 y 40/60. Sabemos por el primer ejemplo que 15 es el factor común más alto de 45 y 60, por lo que podemos expresarlos inmediatamente como 5/15 y 10/15. Dado que 3 × 5 = 15, y ambos numeradores también son divisibles por cinco, podemos dividir ambas partes de ambas fracciones por cinco para obtener 1/3 y 2/3. Ahora son mucho más fáciles de agregar y ver que
\ frac {15} {45} + \ frac {40} {60} = 1