En matemáticas, se utiliza un contraejemplo para refutar una afirmación. Si desea probar que una declaración es verdadera, debe escribir una prueba para demostrar que siempre es cierta; dar un ejemplo no es suficiente. En comparación con escribir una prueba, escribir un contraejemplo es mucho más simple; Si desea demostrar que una afirmación no es verdadera, solo debe proporcionar un ejemplo de un escenario en el que la afirmación sea falsa. La mayoría de los contraejemplos en álgebra involucran manipulaciones numéricas.
Dos clases de matemáticas
La redacción de pruebas y la búsqueda de contraejemplos son dos de las clases principales de matemáticas. La mayoría de los matemáticos se centran en la redacción de pruebas para desarrollar nuevos teoremas y propiedades. Cuando las afirmaciones o conjeturas no pueden probarse como verdaderas, los matemáticos las refutan dando contraejemplos.
Los contraejemplos son concretos
En lugar de usar variables y notaciones abstractas, puede usar ejemplos numéricos para refutar un argumento. En álgebra, la mayoría de los contraejemplos involucran manipulación usando diferentes números positivos y negativos o pares e impares, casos extremos y números especiales como 0 y 1.
Un contraejemplo es suficiente
La filosofía del contraejemplo es que si en un escenario la afirmación no es verdadera, entonces la afirmación es falsa. Un ejemplo no matemático es "Tom nunca ha dicho una mentira". Para demostrar que esta afirmación es cierta, debe proporcionar una "prueba" de que Tom nunca ha mentido al rastrear todas las declaraciones que Tom ha hecho. Sin embargo, para refutar esta afirmación, solo necesita mostrar una mentira que Tom haya dicho alguna vez.
Contraejemplos famosos
"Todos los números primos son impares". Aunque casi todos los números primos, incluidos todos los primos por encima de 3, son impares, "2" es un número primo par; esta afirmación es falsa; "2" es el contraejemplo relevante.
"La resta es conmutativa". Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas: se pueden realizar en cualquier orden. Es decir, para cualquier número real a y b, a + b = b + a y a * b = b * a. Sin embargo, la resta no es conmutativa; un contraejemplo que prueba esto es: 3 - 5 no es igual a 5 - 3.
"Cada función continua es diferenciable". La función absoluta | x | es continuo para todos los números positivos y negativos; pero no es diferenciable en x = 0; desde | x | es una función continua, este contraejemplo prueba que no todas las funciones continuas son diferenciables.