El álgebra está llena de patrones repetidos que puedes resolver con la aritmética en todo momento. Pero debido a que esos patrones son tan comunes, generalmente hay una fórmula de algún tipo para ayudar a facilitar los cálculos. El cubo de un binomio es un gran ejemplo: si tuvieras que resolverlo todo el tiempo, pasarías mucho tiempo trabajando con lápiz y papel. Pero una vez que conozca la fórmula para resolver ese cubo (y algunos trucos útiles para recordarlo), encontrar la respuesta es tan simple como insertar los términos correctos en los espacios de las variables correctas.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
La fórmula para el cubo de un binomio (a + B) es:
(a + B)3 = a3 + 3_a_2B + 3_ab_2 + B3
Calcular el cubo de un binomio
No hay necesidad de entrar en pánico cuando ve un problema como (a + b)3 frente a ti. Una vez que lo descomponga en sus componentes familiares, comenzará a verse como problemas matemáticos más familiares que ha hecho antes.
En este caso, es útil recordar que
(a + b)3
es lo mismo que
(a + b) (a + b) (a + b), que debería parecer mucho más familiar.
Pero en lugar de trabajar las matemáticas desde cero cada vez, puede usar el "atajo" de una fórmula que representa la respuesta que obtendrá. Aquí está la fórmula para el cubo de un binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Para usar la fórmula, identifique qué números (o variables) ocupan los espacios para "a" y "b" en el lado izquierdo de la ecuación, luego sustituya esos mismos números (o variables) en las ranuras "a" y "b" en el lado derecho de la fórmula.
Ejemplo 1: Resolver (x + 5)3
Como se puede ver, X ocupa el espacio "a" en el lado izquierdo de su fórmula, y 5 ocupa el espacio "b". Sustituyendo X y 5 en el lado derecho de la fórmula le da:
X3 + 3 veces25 + 3x52 + 53
Un poco de simplificación te acerca a una respuesta:
X3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
Y finalmente, una vez que haya simplificado tanto como pueda:
X3 + 15 veces2 + 75x + 125
¿Qué pasa con la resta?
No necesitas una fórmula diferente para resolver un problema como (y - 3)3. Si recuerdas eso y - 3 es lo mismo que y + (-3), simplemente puede reescribir el problema para [y + (-3)]3 y resuélvalo usando su fórmula familiar.
Ejemplo 2: Resolver (y - 3)3
Como ya se mencionó, su primer paso es reescribir el problema para [y + (-3)]3.
A continuación, recuerde su fórmula para el cubo de un binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
En tu problema y ocupa la ranura "a" en el lado izquierdo de la ecuación, y -3 ocupa la ranura "b". Sustituya esos en las ranuras correspondientes en el lado derecho de la ecuación, teniendo mucho cuidado con los paréntesis para preservar el signo negativo delante de -3. Esto te da:
y3 + 3 años2(-3) + 3 años (-3)2 + (-3)3
Ahora es el momento de simplificar. Nuevamente, preste mucha atención a ese signo negativo cuando aplique exponentes:
y3 + 3 (-3) años2 + 3 (9) y + (-27)
Una ronda más de simplificación le da su respuesta:
y3 - 9 años2 + 27 años - 27
Cuidado con la suma y la diferencia de los cubos
Siempre preste mucha atención a dónde están los exponentes en su problema. Si ve un problema en el formulario (a + b)3, o [a + (-b)]3, entonces la fórmula que se está discutiendo aquí es apropiada. Pero si tu problema parece (a3 + b3) o (a3 - B3), no es el cubo de un binomio. Es la suma de cubos (en el primer caso) o la diferencia de cubos (en el segundo caso), en cuyo caso aplica una de las siguientes fórmulas:
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - B3) = (a - b) (a2 + ab + b2)