Πώς να επιλύσετε μια εξίσωση τετραγωνικής ρίζας

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι μια τιμή που, όταν πολλαπλασιάζεται από μόνη της, δίνει τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 0 είναι 0, η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10 και η τετραγωνική ρίζα του 50 είναι 7.071. Μερικές φορές, μπορείτε να καταλάβετε, ή απλά να θυμηθείτε, την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού που είναι το ίδιο ένα «τέλειο τετράγωνο», το οποίο είναι το προϊόν ενός ακέραιου πολλαπλασιαζόμενου από τον εαυτό του. καθώς προχωράτε στις σπουδές σας, είναι πιθανό να αναπτύξετε μια διανοητική λίστα αυτών των αριθμών (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Προβλήματα που αφορούν τετραγωνικές ρίζες είναι απαραίτητα στον τομέα της μηχανικής, του λογισμού και σχεδόν σε κάθε σφαίρα του σύγχρονου κόσμου. Παρόλο που μπορείτε εύκολα να εντοπίσετε υπολογιστές εξίσωσης τετραγωνικής ρίζας στο Διαδίκτυο (δείτε Πόρους για παράδειγμα), η επίλυση εξισώσεων τετραγωνικής ρίζας είναι σημαντική δεξιότητα στην άλγεβρα, επειδή σας επιτρέπει να εξοικειωθείτε με τη χρήση ριζών και να εργαστείτε με διάφορους τύπους προβλημάτων έξω από τη σφαίρα των τετραγωνικών ριζών καθαυτή.

Το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός δύο αρνητικών αριθμών μαζί αποδίδει θετικό αριθμό είναι σημαντικός στον κόσμο των τετραγωνικών ριζών, επειδή αυτό συνεπάγεται ότι οι θετικοί αριθμοί έχουν πραγματικά δύο τετραγωνικές ρίζες (για παράδειγμα, οι τετραγωνικές ρίζες των 16 είναι 4 και −4, ακόμη και αν μόνο οι πρώτες είναι διαισθητικές). Ομοίως, οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν πραγματικές τετραγωνικές ρίζες, επειδή δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που παίρνει μια αρνητική τιμή όταν πολλαπλασιάζεται από μόνος του. Σε αυτήν την παρουσίαση, η αρνητική τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού θα αγνοηθεί, έτσι ώστε η "τετραγωνική ρίζα του 361" να μπορεί να ληφθεί ως "19" αντί για "−19 και 19."

Επίσης, όταν προσπαθείτε να εκτιμήσετε την τιμή μιας τετραγωνικής ρίζας όταν κανένας υπολογιστής δεν είναι εύχρηστος, είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσετε ότι οι συναρτήσεις που περιλαμβάνουν τετράγωνα και τετραγωνικές ρίζες δεν είναι γραμμικές. Θα δείτε περισσότερα σχετικά με αυτό στην ενότητα σχετικά με τα γραφήματα αργότερα, αλλά ως πρόχειρο παράδειγμα, έχετε ήδη παρατηρήσει ότι η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10 και η τετραγωνική ρίζα του 0 είναι 0. Από την οπτική γωνία, αυτό μπορεί να σας οδηγήσει να μαντέψετε ότι η τετραγωνική ρίζα για το 50 (που βρίσκεται στα μισά μεταξύ 0 και 100) πρέπει να είναι 5 (που είναι στα μισά μεταξύ 0 και 10). Αλλά έχετε ήδη μάθει ότι η τετραγωνική ρίζα του 50 είναι 7.071.

Τέλος, μπορεί να έχετε ενσωματώσει την ιδέα ότι ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών μαζί αποδίδει έναν αριθμό μεγαλύτερη από την ίδια, υπονοώντας ότι οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών είναι πάντα μικρότερες από την αρχική αριθμός. Αυτή δεν είναι η περίπτωση! Οι αριθμοί μεταξύ 0 και 1 έχουν επίσης τετραγωνικές ρίζες, και σε κάθε περίπτωση, η τετραγωνική ρίζα είναι μεγαλύτερη από τον αρχικό αριθμό. Αυτό εμφανίζεται πιο εύκολα χρησιμοποιώντας κλάσματα. Για παράδειγμα, το 16/25 ή το 0,64, έχει ένα τέλειο τετράγωνο τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι η τετραγωνική ρίζα του κλάσματος είναι η τετραγωνική ρίζα των επάνω και κάτω συστατικών του, που είναι 4/5. Αυτό είναι ίσο με 0,80, μεγαλύτερο αριθμό από 0,64.

"Η τετραγωνική ρίζα τουΧΣυνήθως γράφεται χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται ριζοσπαστικό σημάδι ή απλώς ριζοσπαστικό (√). Έτσι για οποιοδήποτεΧ​:

αντιπροσωπεύει την τετραγωνική ρίζα του. Γύρω από αυτό, το τετράγωνο ενός αριθμούΧγράφεται χρησιμοποιώντας εκθέτη 2 (Χ​²). Οι εκθέτες λαμβάνουν υπεργράφους για επεξεργασία κειμένου και σχετικές εφαρμογές, και ονομάζονται επίσης εξουσίες. Επειδή τα ριζικά σημάδια δεν είναι πάντα εύκολο να παραχθούν κατ 'απαίτηση, ένας άλλος τρόπος για να γράψετε "την τετραγωνική ρίζα τουΧ"είναι να χρησιμοποιήσετε έναν εκθέτη:

Αυτό με τη σειρά του είναι μέρος ενός γενικού σχήματος:

σημαίνει "αύξησηΧστη δύναμη τουεκαι μετά πάρτε τοζ«ρίζα του».Χ​^1/2 σημαίνει "αύξησηΧστην πρώτη δύναμη, που είναι απλάΧπάλι, και στη συνέχεια πάρτε τη 2 ρίζα της, ή την τετραγωνική ρίζα. "Επέκταση αυτού,Χ​^(5/3) σημαίνει "αύξησηΧστη δύναμη του 5 και, στη συνέχεια, βρείτε την τρίτη ρίζα (ή ρίζα κύβου) του αποτελέσματος. "

Οι ρίζες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση ριζών εκτός του 2, της τετραγωνικής ρίζας. Αυτό γίνεται με απλή προσθήκη ενός υπεργράφου στην επάνω αριστερή γωνία της ρίζας.

τότε, αντιπροσωπεύει τον ίδιο αριθμό μεΧ​^(5/3) από την προηγούμενη παράγραφο.

Οι περισσότερες τετραγωνικές ρίζες είναι παράλογοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι όχι μόνο δεν είναι ωραίοι, καθαροί ακέραιοι αριθμοί (π.χ. 1, 2, 3, 4.. .), αλλά δεν μπορούν επίσης να εκφραστούν ως καθαρός δεκαδικός αριθμός που τελειώνει χωρίς να χρειάζεται να στρογγυλοποιηθεί. Ένας λογικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα. Έτσι, παρόλο που το 2,75 δεν είναι ακέραιος, είναι λογικός αριθμός επειδή είναι το ίδιο με το κλάσμα 11/4. Σας είπαν νωρίτερα ότι η τετραγωνική ρίζα του 50 είναι 7.071, αλλά αυτό είναι πραγματικά στρογγυλεμένο από έναν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Η ακριβής τιμή του √50 είναι 5√2 και θα δείτε πώς θα καθοριστεί σύντομα.

Έχετε ήδη δει ότι οι εξισώσεις στην εμπλοκή τετραγώνων και τετραγώνων ριζών είναι μη γραμμικές. Ένας εύκολος τρόπος να το θυμάστε αυτό είναι ότι τα γραφήματα των λύσεων αυτών των εξισώσεων δεν είναι γραμμές. Αυτό έχει νόημα, γιατί εάν, όπως σημειώνεται, το τετράγωνο του 0 είναι 0 και το τετράγωνο του 10 είναι 100 αλλά το τετράγωνο του 5 δεν είναι 50, το γράφημα που προκύπτει από το απλό τετράγωνο ενός αριθμού πρέπει να στρίψει προς τα δεξιά αξίες.

Αυτό συμβαίνει με το γράφημα του

όπως μπορείτε να δείτε μόνοι σας, μεταβαίνοντας στην αριθμομηχανή στους πόρους και αλλάζοντας τις παραμέτρους. Η γραμμή περνάει από το σημείο (0,0) και το y δεν πηγαίνει κάτω από το 0, το οποίο πρέπει να περιμένετε επειδή το γνωρίζετεΧ​² δεν είναι ποτέ αρνητικό. Μπορείτε επίσης να δείτε ότι το γράφημα είναι συμμετρικό γύρω από τοε-αξίδα, το οποίο έχει επίσης νόημα επειδή κάθε θετική τετραγωνική ρίζα ενός δεδομένου αριθμού συνοδεύεται από μια αρνητική τετραγωνική ρίζα ίσου μεγέθους. Επομένως, με εξαίρεση το 0, κάθεετιμή στο γράφημα τουε​ = ​Χ​² συνδέεται με δύοΧ-αξίες.

Ένας τρόπος αντιμετώπισης των βασικών τετραγωνικών ριζών με το χέρι είναι να αναζητήσετε τέλεια τετράγωνα "κρυμμένα" μέσα στο πρόβλημα. Πρώτον, είναι σημαντικό να γνωρίζετε μερικές ζωτικές ιδιότητες των τετραγώνων και των τετραγώνων ριζών. Ένα από αυτά είναι ότι, όπως √Χ​² είναι απλά ίσο μεΧ(επειδή ο ριζοσπαστικός και ο εκθέτης ακυρώνουν ο ένας τον άλλον):

Δηλαδή, εάν έχετε ένα τέλειο τετράγωνο κάτω από μια ρίζα πολλαπλασιάζοντας έναν άλλο αριθμό, μπορείτε να το "τραβήξετε έξω" και να το χρησιμοποιήσετε ως συντελεστή αυτού που απομένει. Για παράδειγμα, επιστροφή στην τετραγωνική ρίζα του 50

Μερικές φορές μπορείτε να καταλήξετε με έναν αριθμό που περιλαμβάνει τετραγωνικές ρίζες που εκφράζεται ως κλάσμα, αλλά εξακολουθεί να είναι παράλογος αριθμός επειδή ο παρονομαστής, ο αριθμητής ή και οι δύο περιέχουν μια ρίζα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορεί να σας ζητηθεί να εξορθολογήσετε τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, ο αριθμός

έχει μια ρίζα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή. Αλλά μετά τον έλεγχο "45", μπορεί να το αναγνωρίσετε ως το προϊόν των 9 και 5, που σημαίνει αυτό

Επομένως, το κλάσμα μπορεί να γραφτεί

Οι ριζοσπάστες ακυρώνουν ο ένας τον άλλον, και μένετε με 6/3 = 2.