Τι είναι η ανισότητα;

Όταν αρχίζετε να μαθαίνετε άλγεβρα, ένα σύμβολο ίσο χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει, κυριολεκτικά, τα δύο πράγματα είναι ίδια μεταξύ τους. Για παράδειγμα 3 = 3, 5 = 3 + 2, μήλο = μήλο, αχλάδι = αχλάδι και ούτω καθεξής, τα οποία είναι όλα παραδείγματα εξισώσεων. Συγκριτικά, μια ανισότητα σας δίνει δύο κομμάτια πληροφοριών: Πρώτον, ότι τα πράγματα που συγκρίνονται είναιδενίσο, ή τουλάχιστον όχι πάντα ίσο · και δεύτερον, με ποιο τρόπο είναι άνισοι.

Μια ανισότητα γράφεται ακριβώς όπως θα γράφατε μια εξίσωση, εκτός από το ότι αντί να χρησιμοποιήσετε ένα σύμβολο ίσου, χρησιμοποιείτε ένα από τα σημεία ανισότητας. Είναι ">" a.k.a. "μεγαλύτερες από," " και καιάνισος.

Μια οπτική αναπαράσταση - δηλαδή ένα γράφημα - μιας ανισότητας είναι ένας άλλος τρόπος οπτικοποίησης του τι πραγματικά σημαίνει μια ανισότητα. Το γράφημα των ανισοτήτων είναι επίσης κάτι που θα σας ζητηθεί να κάνετε στην τάξη των μαθηματικών. Φανταστείτε την ακόλουθη εξίσωση:

Εάν επρόκειτο να το σχεδιάσετε, θα ήταν μια διαγώνια γραμμή που περνά κατευθείαν από την προέλευση, με γωνία προς τα πάνω και δεξιά με κλίση 1 ή, αν προτιμάτε, 1/1. Όλες οι πιθανές λύσεις για την εξίσωση βρίσκονται σε αυτήν τη γραμμή, και μόνο σε αυτήν τη γραμμή.

Αλλά τι γίνεται αν αντί για εξίσωση, είχατε την ανισότητα

Αυτό το συγκεκριμένο σύμβολο ανισότητας θα μπορούσε να διαβαστεί ως "μικρότερο ή ίσο με" και σας λέει αυτόΧ​ = ​εείναι μια πιθανή λύση, μαζί με κάθε συνδυασμό όπουΧείναι λιγότερο απόε​.

Έτσι, η γραμμή που αντιπροσωπεύειΧ​ = ​επαραμένει μια πιθανή λύση, και θα τη σύρετε ως συνήθως. Αλλά θα έχετε επίσης σκιά στην περιοχή στα αριστερά της γραμμής, γιατί οποιαδήποτε αξία είναιΧείναι λιγότερο απόεπεριλαμβάνεται επίσης στις λύσεις σας.

Αν αντί γιαΧ​ ≤ ​εείχατε την αυστηρή ανισότηταΧ​ < ​ε, θα το γράφετε ακριβώς το ίδιο όπωςΧ​ ≤ ​ε,εκτός από αυτό γιατίΧ​ = ​εδεν είναι πλέον μια επιλογή, δεν θα τραβήξατε αυτή τη γραμμή σταθερά. Αντ 'αυτού, θα ζωγραφίζατεΧ​ = ​εως διακεκομμένη ή σπασμένη γραμμή, δείχνοντας ότι αν και δεν είναι μέρος του συνόλου λύσεων, εξακολουθεί να είναι το όριο μεταξύ του έγκυρου συνόλου λύσεων (σε αυτήν την περίπτωση, στα αριστερά της γραμμής σας) και των μη λύσεων στην άλλη πλευρά του γραμμή.

Ως επί το πλείστον, η επίλυση ανισοτήτων λειτουργεί ακριβώς το ίδιο με την επίλυση εξισώσεων. Για παράδειγμα, εάν αντιμετωπίσατε την απλή εξίσωση

θα χωρίζατε και τις δύο πλευρές με 2 για να φτάσετε στην απάντησηΧ​ = 3.

Θα κάνατε το ίδιο εάν αντίθετα αντιμετωπίσατε τους ίδιους αριθμούς με μια ανισότητα: Ας πούμε, 2Χ≥ 6. Θα χωρίζατε και τις δύο πλευρές με 2 και θα καταλήγατε στη λύσηΧ≥ 3 ή, για να το γράψετε στα απλά αγγλικά,Χαντιπροσωπεύει όλους τους αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους με 3.

Μπορείτε επίσης να προσθέσετε και να αφαιρέσετε αριθμούς και στις δύο πλευρές μιας ανισότητας, όπως κάνετε με τις εξισώσεις ή να διαιρέσετε με τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές.

Αλλά υπάρχει μια αξιοσημείωτη εξαίρεση που πρέπει να προσέξετε: Εάν πολλαπλασιάσετε ή διαιρέσετε και τις δύο πλευρές μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, τότε πρέπει να γυρίσετε την κατεύθυνση του σημείου ανισότητας. Για παράδειγμα, εξετάστε την ανισότητα -4ε​ > 24.

Για να απομονωθείε, θα πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με -4. Αυτή είναι η σκανδάλη σας για να αλλάξετε την κατεύθυνση του σημείου ανισότητας. Έτσι, μετά τη διαίρεση, έχετε:

Σημειώστε ότι το σύνολο λύσεων για την ανισότητα που μόλις δόθηκε περιλαμβάνει −7, −8, −7.5, −9.23 και έναν άπειρο αριθμό άλλων λύσεων που είναι μικρότερες από −6, αλλά όχι Itself6 το ίδιο, επειδή το σύμβολο ανισότητας δεν έχει την επιπλέον γραμμή για "ή ίσο με". Έτσι, για να ελέγξετε την εργασία σας, βεβαιωθείτε ότι αντικαταστήσατε τιμές από τη λύση σας σειρά.

Αν αντικαταστήσετε το −6 στην αρχική ανισότητα θα καταλήξατε με −4 × −6> 24 ή 24> 24, κάτι που δεν έχει νόημα. Ούτε πρέπει, αφού το −6 δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο λύσεων. Αλλά αν επρόκειτο να αρχίσετε να αντικαθιστάτε τιμέςείναιπου περιλαμβάνονται στο σύνολο λύσεων, όπως −7, θα έχετε έγκυρα αποτελέσματα. Για παράδειγμα:

που απλοποιεί:

που είναι ένα έγκυρο αποτέλεσμα.