Μια συνάρτηση εκφράζει σχέσεις μεταξύ σταθερών και μίας ή περισσότερων μεταβλητών. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = 5x + 10 εκφράζει μια σχέση μεταξύ της μεταβλητής x και των σταθερών 5 και 10. Γνωστή ως παράγωγα και εκφράζεται ως dy / dx, df (x) / dx ή f '(x), η διαφοροποίηση βρίσκει τον ρυθμό μεταβολής μιας μεταβλητής σε σχέση με μια άλλη - στο παράδειγμα, f (x) σε σχέση με το x. Η διαφοροποίηση είναι χρήσιμη για την εξεύρεση της βέλτιστης λύσης, που σημαίνει την εύρεση των μέγιστων ή ελάχιστων συνθηκών. Υπάρχουν ορισμένοι βασικοί κανόνες σχετικά με τη διαφοροποίηση των λειτουργιών.
Διαχωρίστε μια σταθερή συνάρτηση. Το παράγωγο μιας σταθεράς είναι μηδέν. Για παράδειγμα, εάν f (x) = 5, τότε f ’(x) = 0.
Εφαρμόστε τον κανόνα ισχύος για να διαφοροποιήσετε μια συνάρτηση. Ο κανόνας ισχύος δηλώνει ότι εάν f (x) = x ^ n ή x ανυψωθεί στην ισχύ n, τότε f '(x) = nx ^ (n - 1) ή x ανυψωμένο στην ισχύ (n - 1) και πολλαπλασιάζεται με Για παράδειγμα, εάν f (x) = 5x, τότε f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Ομοίως, εάν f (x) = x ^ 10, τότε f '(x) = 9x ^ 9; και εάν f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, τότε f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.
Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον κανόνα προϊόντος. Η διαφορά ενός προϊόντος δεν είναι το προϊόν των διαφορών των επιμέρους συστατικών του: Εάν f (x) = uv, όπου τα u και v είναι δύο ξεχωριστές συναρτήσεις, τότε το f '(x) δεν είναι ίσο με το f' (u) πολλαπλασιασμένο επί το f '(v). Αντίθετα, το παράγωγο ενός προϊόντος με δύο συναρτήσεις είναι η πρώτη φορά το παράγωγο του δεύτερου, συν τη δεύτερη φορά το παράγωγο του πρώτου. Για παράδειγμα, εάν f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), τα παράγωγα των δύο συναρτήσεων είναι 2x + 5 και 3x ^ 2, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον κανόνα προϊόντος, f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.
Αποκτήστε το παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον κανόνα πηλίκο. Ένα πηλίκο είναι μια συνάρτηση διαιρούμενη με άλλη. Το παράγωγο ενός πηλίκου ισούται με τον παρονομαστή επί το παράγωγο του αριθμητή μείον τον αριθμητή επί το παράγωγο του παρονομαστή, και στη συνέχεια διαιρείται με τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, εάν f (x) = (x ^ 2 + 4x) / (x ^ 3), τα παράγωγα των συναρτήσεων αριθμητή και παρονομαστή είναι 2x + 4 και 3x ^ 2, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον κανόνα πηλίκου, f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] / (x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) / x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) / x ^ 6.
Χρησιμοποιήστε κοινά παράγωγα. Τα παράγωγα κοινών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, που είναι συναρτήσεις γωνιών, δεν χρειάζεται να προέρχονται από τις πρώτες αρχές - τα παράγωγα του sin x και cos x είναι cos x και -sin x, αντίστοιχα. Το παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης είναι η ίδια η συνάρτηση - f (x) = f ’(x) = e ^ x και το παράγωγο της φυσικής λογαριθμικής συνάρτησης, ln x, είναι 1 / x. Για παράδειγμα, εάν f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, τότε f '(x) = cos x + 2x - 4.