Καθημερινά παραδείγματα καταστάσεων για την εφαρμογή τετραγωνικών εξισώσεων

Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή, όπως κατά τον υπολογισμό περιοχών, τον προσδιορισμό του κέρδους ενός προϊόντος ή τη διαμόρφωση της ταχύτητας ενός αντικειμένου. Οι τετραγωνικές εξισώσεις αναφέρονται σε εξισώσεις με τουλάχιστον μία τετραγωνική μεταβλητή, με την πιο τυπική μορφή να είναι ax² + bx + c = 0. Το γράμμα X αντιπροσωπεύει ένα άγνωστο και τα b και c είναι οι συντελεστές που αντιπροσωπεύουν γνωστούς αριθμούς και το γράμμα a δεν είναι ίσο με το μηδέν.

Οι άνθρωποι συχνά πρέπει να υπολογίζουν την έκταση των δωματίων, κουτιά ή οικόπεδα. Ένα παράδειγμα μπορεί να περιλαμβάνει την κατασκευή ενός ορθογώνιου κουτιού όπου η μία πλευρά πρέπει να έχει διπλάσιο μήκος από την άλλη πλευρά. Για παράδειγμα, εάν έχετε μόνο 4 τετραγωνικά πόδια ξύλου για χρήση στο κάτω μέρος του κουτιού, με αυτές τις πληροφορίες, μπορείτε να δημιουργήσετε μια εξίσωση για την περιοχή του κουτιού χρησιμοποιώντας την αναλογία των δύο πλευρών. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή - το μήκος επί το πλάτος - σε όρους x θα ισούται με x φορές 2x ή 2x ^ 2. Αυτή η εξίσωση πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση με τέσσερα για να δημιουργήσετε με επιτυχία ένα πλαίσιο χρησιμοποιώντας αυτούς τους περιορισμούς.

Μερικές φορές, ο υπολογισμός του επιχειρηματικού κέρδους απαιτεί τη χρήση τετραγωνικής συνάρτησης. Αν θέλετε να πουλήσετε κάτι - ακόμη και κάτι τόσο απλό όσο η λεμονάδα - πρέπει να αποφασίσετε πόσα είδη θα παράγετε ώστε να αποκομίσετε κέρδος. Ας πούμε, για παράδειγμα, ότι πουλάτε ποτήρια λεμονάδας και θέλετε να φτιάξετε 12 ποτήρια. Γνωρίζετε, ωστόσο, ότι θα πουλάτε έναν διαφορετικό αριθμό γυαλιών ανάλογα με τον τρόπο που θα ορίσετε την τιμή σας. Με 100 $ ανά ποτήρι, δεν είναι πιθανό να πουλήσετε, αλλά στα 0,01 $ ανά ποτήρι, πιθανότατα θα πουλήσετε 12 ποτήρια σε λιγότερο από ένα λεπτό. Έτσι, για να αποφασίσετε πού να ορίσετε την τιμή σας, χρησιμοποιήστε το P ως μεταβλητή. Υπολογίσατε ότι η ζήτηση για ποτήρια λεμονάδας είναι 12 - P. Τα έσοδά σας, επομένως, θα είναι η τιμή επί τον αριθμό των πωληθέντων γυαλιών: P φορές 12 μείον P ή 12P - P ^ 2. Χρησιμοποιώντας όσο κι αν είναι το κόστος της λεμονάδας σας για παραγωγή, μπορείτε να ορίσετε αυτήν την εξίσωση ίσο με αυτό το ποσό και να επιλέξετε μια τιμή από εκεί.

Σε αθλητικά γεγονότα που περιλαμβάνουν ρίψη αντικειμένων όπως το σουτ, μπάλες ή ακόντιο, οι τετραγωνικές εξισώσεις γίνονται εξαιρετικά χρήσιμες. Για παράδειγμα, ρίχνετε μια μπάλα στον αέρα και ζητάτε από τον φίλο σας να το πιάσει, αλλά θέλετε να της δώσετε τον ακριβή χρόνο που θα χρειαστεί να φτάσει η μπάλα. Χρησιμοποιήστε την εξίσωση ταχύτητας, η οποία υπολογίζει το ύψος της μπάλας βάσει μιας παραβολικής ή τετραγωνικής εξίσωσης. Ξεκινήστε ρίχνοντας την μπάλα στα 3 μέτρα, όπου βρίσκονται τα χέρια σας. Υποθέστε επίσης ότι μπορείτε να ρίξετε την μπάλα προς τα πάνω στα 14 μέτρα ανά δευτερόλεπτο και ότι η βαρύτητα της γης μειώνει την ταχύτητα της μπάλας με ρυθμό 5 μέτρων ανά δευτερόλεπτο. Από αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος, h, χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή t για το χρόνο, με τη μορφή h = 3 + 14t - 5t ^ 2. Εάν τα χέρια του φίλου σας έχουν επίσης ύψος 3 μέτρα, πόσα δευτερόλεπτα θα χρειαστεί να φτάσει η μπάλα; Για να απαντήσετε σε αυτό, ορίστε την εξίσωση ίση με 3 = h και επιλύστε το t. Η απάντηση είναι περίπου 2,8 δευτερόλεπτα.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι επίσης χρήσιμες στον υπολογισμό των ταχυτήτων. Οι άπληστοι καγιάκερ, για παράδειγμα, χρησιμοποιούν τετραγωνικές εξισώσεις για να εκτιμήσουν την ταχύτητά τους όταν ανεβαίνουν και κατεβαίνουν ένα ποτάμι. Ας υποθέσουμε ότι ένα καγιάκε ανεβαίνει ένα ποτάμι και το ποτάμι κινείται με ταχύτητα 2 χλμ. Την ώρα. Εάν πηγαίνει ανάντη ενάντια στο ρεύμα στα 15 χλμ. Και το ταξίδι του παίρνει 3 ώρες για να πάει εκεί και να επιστρέψει, θυμηθείτε αυτό time = απόσταση διαιρούμενη με ταχύτητα, ας v = η ταχύτητα του καγιάκ σε σχέση με την προσγείωση, και ας x = η ταχύτητα του καγιάκ στο νερό. Ενώ ταξιδεύετε προς τα πάνω, η ταχύτητα του καγιάκ είναι v = x - 2 - αφαιρέστε 2 για την αντίσταση από το ρεύμα του ποταμού - και ενώ πηγαίνετε προς τα κάτω, η ταχύτητα του καγιάκ είναι v = x + 2. Ο συνολικός χρόνος ισούται με 3 ώρες, που είναι ίσος με τον χρόνο που πηγαίνει προς τα πάνω συν τον χρόνο που πηγαίνει προς τα κάτω, και οι δύο αποστάσεις είναι 15 χλμ. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις μας, γνωρίζουμε ότι 3 ώρες = 15 / (x - 2) + 15 / (x + 2). Μόλις επεκταθεί αλγεβρικά, λαμβάνουμε 3x ^ 2 - 30x -12 = 0. Λύνοντας για το x, ξέρουμε ότι ο καγιάκερ μετακίνησε το καγιάκ του με ταχύτητα 10,39 χλμ ανά ώρα.