Οι ρίζες ενός πολυωνύμου ονομάζονται επίσης μηδενικά, επειδή οι ρίζες είναιΧτιμές στις οποίες η συνάρτηση ισούται με μηδέν. Όταν πρόκειται για την εύρεση των ριζών, έχετε πολλές τεχνικές στη διάθεσή σας. Το factoring είναι η μέθοδος που θα χρησιμοποιείτε συχνότερα, αν και η γραφική παράσταση μπορεί επίσης να είναι χρήσιμη.
Πόσες ρίζες;
Εξετάστε τον όρο υψηλότερου βαθμού του πολυώνυμου - δηλαδή, τον όρο με τον υψηλότερο εκθέτη. Αυτός ο εκθέτης είναι πόσες ρίζες θα έχει το πολυώνυμο. Έτσι, εάν ο υψηλότερος εκθέτης στο πολυώνυμο σας είναι 2, θα έχει δύο ρίζες. αν ο υψηλότερος εκθέτης είναι 3, θα έχει τρεις ρίζες. και ούτω καθεξής.
Προειδοποιήσεις
-
Υπάρχει μια παγίδα: Οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορεί να είναι πραγματικές ή φανταστικές. Οι "πραγματικές" ρίζες είναι μέλη του συνόλου που είναι γνωστοί ως πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι σε αυτό το σημείο στη μαθηματική σας καριέρα είναι κάθε αριθμός με τον οποίο έχετε συνηθίσει να αντιμετωπίζετε. Ο έλεγχος των φανταστικών αριθμών είναι ένα εντελώς διαφορετικό θέμα, οπότε προς το παρόν, θυμηθείτε μόνο τρία πράγματα:
- Οι "φανταστικές" ρίζες εμφανίζονται όταν έχετε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Για παράδειγμα, √ (-9).
- Οι φανταστικές ρίζες έρχονται πάντα σε ζευγάρια.
- Οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορεί να είναι πραγματικές ή φανταστικές. Έτσι, εάν έχετε ένα πολυώνυμο του 5ου βαθμού, μπορεί να έχει πέντε πραγματικές ρίζες, μπορεί να έχει τρεις πραγματικές ρίζες και δύο φανταστικές ρίζες, και ούτω καθεξής.
Βρείτε Ρίζες ανά Factoring: Παράδειγμα 1
Ο πιο ευέλικτος τρόπος εύρεσης ριζών είναι η παράταση του πολυωνύμου σας όσο το δυνατόν περισσότερο και, στη συνέχεια, ορίζοντας κάθε όρο ίσο με το μηδέν. Αυτό έχει πολύ πιο νόημα όταν ακολουθήσετε μερικά παραδείγματα. Εξετάστε το απλό πολυώνυμοΧ2 – 4Χ:
Μια σύντομη εξέταση δείχνει ότι μπορείτε να συνεισφέρετεΧκαι από τους δύο όρους του πολυώνυμου, το οποίο σας δίνει:
x (x - 4)
Ορίστε κάθε όρο στο μηδέν. Αυτό σημαίνει επίλυση για δύο εξισώσεις:
x = 0
είναι ο πρώτος όρος μηδέν και
x - 4 = 0
είναι ο δεύτερος όρος μηδέν.
Έχετε ήδη τη λύση στον πρώτο όρο. ΑνΧ= 0, τότε ολόκληρη η έκφραση ισούται με μηδέν. ΈτσιΧ= 0 είναι μία από τις ρίζες ή μηδενικά του πολυωνύμου.
Τώρα, σκεφτείτε τη δεύτερη περίοδο και λύστεΧ. Εάν προσθέσετε 4 και στις δύο πλευρές θα έχετε:
x - 4 + 4 = 0 + 4
που απλοποιεί:
x = 4
Οπότε ανΧ= 4 τότε ο δεύτερος συντελεστής είναι ίσος με μηδέν, που σημαίνει ότι ολόκληρο το πολυώνυμο ισούται και με το μηδέν.
Επειδή το αρχικό πολυώνυμο ήταν του δεύτερου βαθμού (ο υψηλότερος εκθέτης ήταν δύο), γνωρίζετε ότι υπάρχουν μόνο δύο πιθανές ρίζες για αυτό το πολυώνυμο. Τα έχετε ήδη βρει και τα δύο, οπότε το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να τα αναφέρετε:
x = 0, x = 4
Βρείτε ρίζες ανά Factoring: Παράδειγμα 2
Ακολουθεί ένα ακόμη παράδειγμα για το πώς να βρείτε τις ρίζες με το factoring, χρησιμοποιώντας κάποια φανταχτερή άλγεβρα στην πορεία. Εξετάστε το πολυώνυμοΧ4 – 16. Μια γρήγορη ματιά στους εκθέτες σας δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν τέσσερις ρίζες για αυτό το πολυώνυμο. τώρα ήρθε η ώρα να τα βρείτε.
Παρατηρήσατε ότι αυτό το πολυώνυμο μπορεί να ξαναγραφεί ως η διαφορά των τετραγώνων; Έτσι αντίΧ4 - 16, έχετε:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Ποιος, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων, παραπέμπει στα ακόλουθα:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Ο πρώτος όρος είναι, πάλι, μια διαφορά τετραγώνων. Επομένως, παρόλο που δεν μπορείτε πλέον να παραθέσετε τον όρο στα δεξιά, μπορείτε να υπολογίσετε τον όρο στα αριστερά ένα βήμα ακόμη:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Τώρα ήρθε η ώρα να βρείτε τα μηδενικά. Γίνεται γρήγορα σαφές ότι εάνΧ= 2, ο πρώτος συντελεστής θα είναι ίσος με μηδέν και έτσι ολόκληρη η έκφραση θα είναι ίσος με μηδέν.
Ομοίως, εάνΧ= −2, ο δεύτερος συντελεστής θα ισούται με μηδέν και έτσι θα ισχύει ολόκληρη η έκφραση.
ΈτσιΧ= 2 καιΧ= −2 είναι και τα δύο μηδενικά ή οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου.
Αλλά τι γίνεται με τον τελευταίο όρο; Επειδή έχει εκθετικό "2", πρέπει να έχει δύο ρίζες. Αλλά δεν μπορείτε να συνυπολογίσετε αυτήν την έκφραση χρησιμοποιώντας τους πραγματικούς αριθμούς που έχετε συνηθίσει. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια πολύ προηγμένη μαθηματική έννοια που ονομάζεται φανταστικοί αριθμοί ή, αν προτιμάτε, σύνθετους αριθμούς. Αυτό είναι πολύ πέρα από το πεδίο εφαρμογής της τρέχουσας μαθηματικής σας πρακτικής, οπότε προς το παρόν αρκεί να σημειώσετε ότι έχετε δύο πραγματικές ρίζες (2 και −2) και δύο φανταστικές ρίζες που θα αφήσετε απροσδιόριστες.
Βρείτε ρίζες με γραφήματα
Μπορείτε επίσης να βρείτε, ή τουλάχιστον να εκτιμήσετε, ρίζες γράφοντας. Κάθε ρίζα αντιπροσωπεύει ένα σημείο όπου το γράφημα της συνάρτησης διασχίζει τοΧάξονας. Αν λοιπόν σχεδιάσετε τη γραμμή και μετά σημειώστε τοΧσυντεταγμένες όπου η γραμμή διασχίζει τοΧάξονα, μπορείτε να εισαγάγετε την εκτιμώμενηΧτιμές αυτών των σημείων στην εξίσωση σας και ελέγξτε για να δείτε εάν τα έχετε σωστά.
Σκεφτείτε το πρώτο παράδειγμα που δουλέψατε, για το πολυώνυμοΧ2 – 4Χ. Εάν το σχεδιάσετε προσεκτικά, θα δείτε ότι η γραμμή διασχίζει τοΧάξονας στοΧ= 0 καιΧ= 4. Εάν εισαγάγετε καθεμία από αυτές τις τιμές στην αρχική εξίσωση, θα λάβετε:
0^2 - 4(0) = 0
ΈτσιΧ= 0 ήταν έγκυρο μηδέν ή ρίζα για αυτό το πολυώνυμο.
4^2 - 4(4) = 0
ΈτσιΧ= 4 είναι επίσης ένα έγκυρο μηδέν ή ρίζα για αυτό το πολυώνυμο. Και επειδή το πολυώνυμο ήταν του βαθμού 2, ξέρετε ότι μπορείτε να σταματήσετε να ψάχνετε αφού βρείτε δύο ρίζες.