Τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση πραγματικών ερωτήσεων σε όλα τα είδη τομέων, από τη χημεία έως τις επιχειρήσεις έως τον αθλητισμό. Η επίλυσή τους δεν είναι απλώς σημαντική για τους μαθηματικούς βαθμούς σας. μπορεί να σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο είτε προσπαθείτε να θέσετε στόχους για την επιχείρησή σας είτε για την αθλητική σας ομάδα.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Για να επιλύσετε ένα σύστημα εξισώσεων με γραφική παράσταση, γραφήστε κάθε γραμμή στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων και δείτε πού τέμνονται.
Εφαρμογές πραγματικού κόσμου
Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι εσείς και ο φίλος σας δημιουργείτε μια βάση λεμονάδας. Αποφασίζετε να χωρίσετε και να κατακτήσετε, οπότε ο φίλος σας πηγαίνει στο γήπεδο μπάσκετ γειτονιάς ενώ μένετε στη γωνιά του οικογενειακού σας δρόμου. Στο τέλος της ημέρας, συγκεντρώνετε τα χρήματά σας. Μαζί, έχετε κερδίσει 200 $, αλλά ο φίλος σας κέρδισε 50 $ περισσότερα από εσάς. Πόσα χρήματα κέρδισε ο καθένας από εσάς;
Ή σκεφτείτε το μπάσκετ: Οι βολές που γίνονται έξω από τη γραμμή 3 πόντων αξίζουν 3 πόντους, τα καλάθια που γίνονται μέσα στη γραμμή 3 πόντων αξίζουν 2 πόντους και οι ελεύθερες βολές αξίζουν μόνο 1 πόντο. Ο αντίπαλός σας είναι 19 πόντους μπροστά σας. Ποιοι συνδυασμοί καλαθιών θα μπορούσατε να κάνετε για να τα καλύψετε;
Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με γραφική παράσταση
Η γραφική παράσταση είναι ένας από τους απλούστερους τρόπους επίλυσης συστημάτων εξισώσεων. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να γράψετε και τις δύο γραμμές στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων και, στη συνέχεια, να δείτε πού τέμνονται.
Πρώτον, πρέπει να γράψετε το πρόβλημα της λέξης ως σύστημα εξισώσεων. Εκχωρήστε μεταβλητές στα άγνωστα. Καλέστε τα χρήματα που κερδίζετεΓκαι τα χρήματα που κάνει ο φίλος σαςφά.
Τώρα έχετε δύο είδη πληροφοριών: πληροφορίες για το πόσα χρήματα έχετε συγκεντρώσει και πληροφορίες για το πώς τα χρήματα που κάνατε σε σύγκριση με τα χρήματα που έκανε ο φίλος σας. Κάθε ένα από αυτά θα γίνει εξίσωση.
Για την πρώτη εξίσωση, γράψτε:
Y + F = 200
αφού τα χρήματά σας συν τα χρήματα του φίλου σας προσθέτουν έως και 200 $.
Στη συνέχεια, γράψτε μια εξίσωση για να περιγράψετε τη σύγκριση μεταξύ των κερδών σας.
Υ = F - 50
επειδή το ποσό που κάνατε είναι ίσο με 50 δολάρια λιγότερο από αυτό που έκανε ο φίλος σας. Θα μπορούσατε επίσης να γράψετε αυτήν την εξίσωση ωςΓ + 50 = φά, καθώς αυτό που κάνατε συν 50 δολάρια ισοδυναμεί με αυτό που έκανε ο φίλος σας. Αυτοί είναι διαφορετικοί τρόποι για να γράψετε το ίδιο πράγμα και δεν θα αλλάξει την τελική σας απάντηση.
Έτσι το σύστημα εξισώσεων μοιάζει με αυτό:
Y + F = 200 \\ Y = F - 50
Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσετε και τις δύο εξισώσεις στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων. Σχεδιάστε το ποσό σας,Γ, στοε-ταξί και το ποσό του φίλου σου,φά, στοΧ-αξίδα (στην πραγματικότητα δεν έχει σημασία ποια είναι εφ 'όσον τα επισημαίνετε σωστά). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χαρτί γραφήματος και μολύβι, φορητή αριθμομηχανή γραφημάτων ή ηλεκτρονική αριθμομηχανή γραφημάτων.
Αυτήν τη στιγμή μία εξίσωση είναι σε τυπική μορφή και μία σε μορφή κλίσης-αναχαίτισης. Αυτό δεν είναι απαραίτητα πρόβλημα, αλλά για λόγους συνέπειας, μετατρέψτε και τις δύο εξισώσεις σε μορφή κλίσης-αναχαίτισης.
Έτσι, για την πρώτη εξίσωση, μετατρέψτε από τυπική φόρμα σε μορφή κλίσης-αναχαίτισης. Αυτό σημαίνει επίλυσηΓ; με άλλα λόγια, πάρτεΓαπό μόνη της στην αριστερή πλευρά του σημείου ίσον. Αφαιρέστε λοιπόνφάκαι από τις δύο πλευρές:
Y + F = 200 \\ Y = -F + 200
Θυμηθείτε ότι σε μορφή κλίσης-αναχαίτισης, ο αριθμός μπροστά από το F είναι η κλίση και η σταθερά είναι η αναχαίτιση y.
Για να σχεδιάσετε την πρώτη εξίσωση,Γ = −φά+ 200, σχεδιάστε ένα σημείο στο (0, 200) και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την κλίση για να βρείτε περισσότερα σημεία. Η κλίση είναι −1, οπότε κατεβείτε μία μονάδα και πάνω από μία μονάδα και σχεδιάστε ένα σημείο. Αυτό δημιουργεί ένα σημείο στο (1, 199) και αν επαναλάβετε τη διαδικασία ξεκινώντας από αυτό το σημείο, θα πάρετε ένα άλλο σημείο στο (2, 198). Αυτές είναι μικροσκοπικές κινήσεις σε μια μεγάλη γραμμή, οπότε τραβήξτε ένα ακόμη σημείο στοΧ-ιντερνετ για να βεβαιωθείτε ότι έχετε τα πράγματα ωραία γραφικά μακροπρόθεσμα. ΑνΓ= 0, τότεφάθα είναι 200, οπότε τραβήξτε ένα σημείο στο (200, 0).
Για να σχεδιάσετε τη δεύτερη εξίσωση,Γ = φά- 50, χρησιμοποιήστε το y-intercept του −50 για να σχεδιάσετε το πρώτο σημείο στο (0, −50). Δεδομένου ότι η κλίση είναι 1, ξεκινήστε από (0, −50) και, στη συνέχεια, ανεβείτε μία μονάδα και πάνω από μία μονάδα. Αυτό σε βάζει (1, −49). Επαναλάβετε τη διαδικασία ξεκινώντας από (1, −49) και θα λάβετε έναν τρίτο βαθμό στο (2, −48). Και πάλι, για να βεβαιωθείτε ότι κάνετε τακτοποιημένα πράγματα σε μεγάλες αποστάσεις, ελέγξτε ξανά τον εαυτό σας σχεδιάζοντας επίσης τοΧ-αναχαιτίζω. ΠότεΓ = 0, φάθα είναι 50, οπότε και τραβήξτε ένα σημείο στο (50, 0). Σχεδιάστε μια τακτοποιημένη γραμμή που συνδέει αυτά τα σημεία.
Ρίξτε μια προσεκτική ματιά στο γράφημα για να δείτε πού τέμνονται οι δύο γραμμές. Αυτή θα είναι η λύση, διότι η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι το σημείο (ή τα σημεία) που κάνουν και τις δύο εξισώσεις αληθινές. Σε ένα γράφημα, αυτό θα μοιάζει με το σημείο (ή τα σημεία) όπου οι δύο γραμμές τέμνονται.
Σε αυτήν την περίπτωση, οι δύο γραμμές τέμνονται στο (125, 75). Έτσι η λύση είναι ότι ο φίλος σας (οΧ-ο συντεταγμένος) έκανε $ 125 και εσείς (τοε-ο συντεταγμένος) έκανε $ 75.
Γρήγορος έλεγχος λογικής: Έχει νόημα αυτό; Μαζί, οι δύο τιμές προσθέτουν στα 200 και το 125 είναι 50 περισσότερα από 75. Ακούγεται καλό.
Μία Λύση, Άπειρες Λύσεις ή Χωρίς Λύσεις
Σε αυτήν την περίπτωση, υπήρχε ακριβώς ένα σημείο όπου οι δύο γραμμές διέσχισαν. Όταν εργάζεστε με συστήματα εξισώσεων, υπάρχουν τρία πιθανά αποτελέσματα και το καθένα θα φαίνεται διαφορετικό σε ένα γράφημα.
- Εάν το σύστημα έχει μία λύση, οι γραμμές θα διασταυρωθούν σε ένα σημείο, όπως έκαναν στο παράδειγμα.
- Εάν το σύστημα δεν έχει λύσεις, οι γραμμές δεν θα περάσουν ποτέ. Θα είναι παράλληλα, κάτι που με αλγεβρικούς όρους σημαίνει ότι θα έχουν την ίδια κλίση.
- Το σύστημα μπορεί επίσης να έχει άπειρες λύσεις, πράγμα που σημαίνει ότι οι "δύο" γραμμές σας είναι στην πραγματικότητα η ίδια γραμμή. Έτσι θα έχουν κάθε κοινό σημείο, που είναι ένας άπειρος αριθμός λύσεων.