Τρόπος επίλυσης γραμμικών ανισοτήτων

Ας πούμε ότι πρέπει να πάτε για ψώνια και έχετε έναν προϋπολογισμό. Θέλετε να αγοράσετε ζυμαρικά και ψωμί για μια μεγάλη ομάδα, αλλά δεν μπορείτε να ξοδέψετε περισσότερα από είκοσι δολάρια. Θεωρητικά, θα μπορούσατε να αγοράσετε μόνο ψωμί και χωρίς ζυμαρικά, ή πολλά ψωμιά και μόνο ένα κουτί ζυμαρικών. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κουτιών ζυμαρικών και καρβέλια ψωμιού θα μπορούσατε να αγοράσετε; Και πώς μπορείτε να αξιοποιήσετε στο έπακρο κάθε ένα για τα χρήματά σας;

Προβλήματα όπως αυτά ονομάζονταιγραμμικές ανισότητες: εξισώσεις των οποίων το γράφημα είναι μια γραμμή, αλλά αντί να χρησιμοποιούν το σύμβολο ίσο, χρησιμοποιούν σύμβολα ανισότητας όπως> ή <.>

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Για να λύσετε μια γραμμική ανισότητα, πρέπει να βρείτε όλους τους συνδυασμούςΧκαιεπου κάνουν την ανισότητα αληθινή. Μπορείτε να επιλύσετε γραμμικές ανισότητες χρησιμοποιώντας άλγεβρα ή γράφοντας.

​Προς την​ ​λύστε μια γραμμική ανισότητα(ή οποιαδήποτε εξίσωση), πρέπει να βρείτε όλους τους συνδυασμούς τουΧκαιεπου κάνουν αυτήν την εξίσωση αληθινή.

Μπορείτε να επιλύσετε γραμμικές ανισότητες αλγεβρικά ή μπορείτε να αντιπροσωπεύσετε τις λύσεις σε ένα γράφημα (ή και τα δύο!). Ας εξετάσουμε μαζί μερικά παραδείγματα προβλημάτων.

Αυτή η διαδικασία είναισχεδόντο ίδιο με την επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης, αλλά με μια βασική εξαίρεση. Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω πρόβλημα.

Πρώτα, πάρτε όλαΧ-ε στην ίδια πλευρά του σημείου "μεγαλύτερο από". ΠροσθήκηΧκαι στις δύο πλευρές για να ακυρώσετε τοΧστη δεξιά πλευρά και μόνοΧστα αριστερά.

Τώρα προσθέστε έξι και στις δύο πλευρές:

Μέχρι στιγμής αυτό ήταν ακριβώς όπως κάθε γραμμική εξίσωση. Αλλά τώρα τα πράγματα πρόκειται να αλλάξουν!Όταν διαιρείτε και τις δύο πλευρές μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, πρέπει να αλλάξετε την κατεύθυνση του συμβόλου ανισότητας​.

Έτσι για −3Χ> 18, θα χωρίσουμε και τις δύο πλευρές με −3 και μετά θα γυρίσουμε το σύμβολο> σε ένα σύμβολο <.>

Τι γίνεται με τη γραφική παράσταση; Για άλλη μια φορά, η διαδικασία είναι πραγματικά παρόμοια με τις γραμμικές εξισώσεις, αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά. Δεδομένου ότι πρέπει να υποδείξετεόλατων συνδυασμών τουΧκαιεπου κάνουν μια ανισότητα αληθινή, θα σχεδιάσετε τη γραμμή όπως συνήθως και μετά θα σκιάσετε στην ενότητα του γραφήματος που σας δίνει τις υπόλοιπες πιθανές λύσεις.

Για παράδειγμα, πώς θα γράφετε την ανισότηταε​ < 3​Χ​ + 6?

Πρώτον, θα παρατηρήσετε ότι η ανισότητα είναιμορφή κλίσης-αναχαίτισης, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τοε- ιντερνέτ και η κλίση για γρήγορη γραφική παράσταση της γραμμής.

οε-η παρεμβολή είναι 6, οπότε σχεδιάστε ένα σημείο στο (0, 6) και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η κλίση είναι 3 για να ανεβείτε τρεις μονάδες και μία μονάδα προς τα δεξιά και, στη συνέχεια, σχεδιάστε ένα σημείο. Το σημείο σας πρέπει να είναι στο (1, 9). Για να φτιάξετε μια γραμμή καθαρή και όμορφη, είναι ωραίο να κερδίσετε τρεις πόντους, οπότε τραβήξτε ένα ακόμη σημείο ξεκινώντας από (1, 9) και ανεβαίνοντας τρεις, πάνω από έναν ξανά. Θα πάρετε έναν βαθμό στο (2, 12). Τώρα σχεδιάστε μια γραμμή συνδέοντας τα σημεία.

Μεγάλος! Μόλις καταγράψατε την ισότηταε​ = 3​Χ+ 6, αλλά θυμηθείτε ότι η αρχική εξίσωση είναιε​ < 3​Χ+ 6. Χρησιμοποιήστε αυτό το απλό τέχνασμα για να σκιάσετε το σωστό τμήμα του γραφήματος:όταν η ανισότητα είναι σε μορφή κλίσης, αν έχετεεε>, μετά σκιά σε όλα πάνω από τη γραμμή.​

Αλλά κάντε διπλό έλεγχο για να βεβαιωθείτε! Όταν σκιάζετε σε ένα ολόκληρο τμήμα του γραφήματος, αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε από αυτά τα σημεία πρέπει να κάνει την εξίσωση αληθινή. Πιάστε ένα τυχαίο σημείο στο οποίο έχετε σκιάσει και συνδέστε τοΧκαιεστην αρχική ανισότητα. Εάν λειτουργεί, μπορείτε να πάτε. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, πρέπει να ελέγξετε ξανά τη γραφική παράσταση και / ή την άλγεβρα σας.

Ενα τελευταίο πράγμα:όταν έχετε> ή ​ ≤, ​η γραμμή πρέπει να είναι συμπαγής.Αυτό δείχνει εάν τα σημεία στη γραμμή περιλαμβάνονται ή όχι στη λύση.

Η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών ανισοτήτων είναι πολύ παρόμοια με την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.Γράφημαείναι ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης γραμμικών ανισοτήτων.

Για να σχεδιάσετε ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων, γράψτε την πρώτη σας ανισότητα όπως κάνατε παραπάνω και σκιάστε στις περιοχές πάνω ή κάτω από τη γραμμή σας. Στη συνέχεια, γράφετε τη δεύτερη ανισότητα. Για άλλη μια φορά, θα σκιάσετε σε όλες τις ενότητες του γραφήματος που κάνουν την ανισότητα αληθινή. Τις περισσότερες φορές, θα υπάρχει μια περιοχή στο γράφημα που έχετε σκιάσει δύο φορές! Αυτό είναι τολύσηστο σύστημα των ανισοτήτων, γιατί είναιτο τμήμα του γραφήματος όπου ισχύουν και οι δύο ανισότητες​.