Πώς να βρείτε μια εκθετική εξίσωση με δύο σημεία

Εάν γνωρίζετε δύο σημεία που εμπίπτουν σε μια συγκεκριμένη εκθετική καμπύλη, μπορείτε να ορίσετε την καμπύλη επιλύοντας τη γενική εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία. Στην πράξη, αυτό σημαίνει αντικατάσταση των σημείων για y και x στην εξίσωση y = ab^Χ. Η διαδικασία είναι ευκολότερη εάν η τιμή x για ένα από τα σημεία είναι 0, πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο βρίσκεται στον άξονα y. Εάν κανένα σημείο δεν έχει μηδενική τιμή x, η διαδικασία επίλυσης των x και y είναι λίγο πιο περίπλοκη.

Πολλά σημαντικά συστήματα ακολουθούν εκθετικά πρότυπα ανάπτυξης και αποσύνθεσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός βακτηρίων σε μια αποικία συνήθως αυξάνεται εκθετικά, και η ακτινοβολία περιβάλλοντος στην ατμόσφαιρα μετά από ένα πυρηνικό συμβάν συνήθως μειώνεται εκθετικά. Λαμβάνοντας δεδομένα και σχεδιάζοντας μια καμπύλη, οι επιστήμονες είναι σε καλύτερη θέση να κάνουν προβλέψεις.

Οποιοδήποτε σημείο σε ένα δισδιάστατο γράφημα μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο αριθμούς, οι οποίοι είναι συνήθως γραμμένοι στο η μορφή (x, y), όπου x ορίζει την οριζόντια απόσταση από την προέλευση και y αντιπροσωπεύει την κατακόρυφη απόσταση. Για παράδειγμα, το σημείο (2, 3) είναι δύο μονάδες στα δεξιά του άξονα y και τρεις μονάδες πάνω από τον άξονα x. Από την άλλη πλευρά, το σημείο (-2, -3) είναι δύο μονάδες στα αριστερά του άξονα y. και τρεις μονάδες κάτω από τον άξονα x.

Εάν έχετε δύο σημεία, (x₁, γ₁) και (x₂, γ₂), μπορείτε να ορίσετε την εκθετική συνάρτηση που περνά από αυτά τα σημεία αντικαθιστώντας τα στην εξίσωση y = ab^Χ και επίλυση για a και b. Γενικά, πρέπει να λύσετε αυτό το ζεύγος εξισώσεων:

ε₁ = αβ^x1 και γ₂ = αβ^x2, .

Σε αυτήν τη μορφή, τα μαθηματικά φαίνονται λίγο περίπλοκα, αλλά φαίνεται λιγότερο έτσι αφού έχετε κάνει μερικά παραδείγματα.

Εάν μία από τις τιμές x - πείτε x₁ - είναι 0, η λειτουργία γίνεται πολύ απλή. Για παράδειγμα, η επίλυση της εξίσωσης για τα σημεία (0, 2) και (2, 4) αποδίδει:

2 = αβ⁰ και 4 = ab². Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι β⁰ = 1, η πρώτη εξίσωση γίνεται 2 = α. Η αντικατάσταση του a στη δεύτερη εξίσωση αποδίδει 4 = 2b², το οποίο απλοποιούμε στο β² = 2, ή b = τετραγωνική ρίζα του 2, που ισούται με περίπου 1,41. Η καθοριστική συνάρτηση είναι τότε y = 2 (1,41)^Χ.

Εάν καμία από τις τιμές x δεν είναι μηδέν, η επίλυση του ζεύγους εξισώσεων είναι ελαφρώς πιο δυσκίνητη. Henochmath μας καθοδηγεί σε ένα εύκολο παράδειγμα για να διευκρινίσουμε αυτήν τη διαδικασία. Στο παράδειγμά του, επέλεξε το ζευγάρι των σημείων (2, 3) και (4, 27). Αυτό αποδίδει το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων:

27 = αβ⁴

3 = αβ²

Εάν διαιρέσετε την πρώτη εξίσωση με τη δεύτερη, παίρνετε

9 = β²

έτσι b = 3. Είναι πιθανό το b να είναι επίσης ίσο με -3, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, ας υποθέσουμε ότι είναι θετικό.

Μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτήν την τιμή με το b και στις δύο εξισώσεις για να λάβετε ένα. Είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη εξίσωση, οπότε:

3 = α (3)² η οποία μπορεί να απλοποιηθεί σε 3 = a9, a = 3/9 ή 1/3.

Η εξίσωση που περνά από αυτά τα σημεία μπορεί να γραφτεί ως y = 1/3 (3)^Χ.

Από το 1910, η αύξηση του ανθρώπινου πληθυσμού ήταν εκθετική, και σχεδιάζοντας μια καμπύλη ανάπτυξης, οι επιστήμονες είναι σε καλύτερη θέση να προβλέψουν και να σχεδιάσουν το μέλλον. Το 1910, ο παγκόσμιος πληθυσμός ήταν 1,75 δισεκατομμύρια και το 2010 ήταν 6,87 δισεκατομμύρια. Λαμβάνοντας το 1910 ως σημείο εκκίνησης, αυτό δίνει το ζεύγος πόντων (0, 1,75) και (100, 6,87). Επειδή η τιμή x του πρώτου σημείου είναι μηδέν, μπορούμε εύκολα να βρούμε ένα.

1,75 = αβ⁰ ή a = 1,75. Η σύνδεση αυτής της τιμής, μαζί με αυτές του δεύτερου σημείου, στη γενική εκθετική εξίσωση παράγει 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, η οποία δίνει την τιμή του b ως την εκατοστή ρίζα των 6,87 / 1,75 ή 3,93. Έτσι γίνεται η εξίσωση y = 1,75 (εκατοστή ρίζα 3,93)^Χ. Αν και χρειάζονται κάτι περισσότερο από έναν κανόνα διαφάνειας, οι επιστήμονες μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτήν την εξίσωση για να προβάλουν μελλοντικούς αριθμούς πληθυσμού για να βοηθήσουν τους πολιτικούς στο παρόν να δημιουργήσουν κατάλληλες πολιτικές.