Οι εξισώσεις ισχύουν εάν και οι δύο πλευρές είναι ίδιες. Οι ιδιότητες των εξισώσεων απεικονίζουν διαφορετικές έννοιες που διατηρούν τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης ίδιες, είτε προσθέτετε, αφαιρείτε, πολλαπλασιάζετε είτε διαιρείτε. Στην άλγεβρα, τα γράμματα αντιπροσωπεύουν αριθμούς που δεν γνωρίζετε και οι ιδιότητες γράφονται με γράμματα για να αποδείξουν ότι όποιοι αριθμοί συνδέετε σε αυτούς, θα λειτουργούν πάντα ως αληθινοί. Μπορείτε να σκεφτείτε αυτές τις ιδιότητες ως "κανόνες άλγεβρας" που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να σας βοηθήσουν να λύσετε μαθηματικά προβλήματα.
Συνεργατικές και ανταλλακτικές ιδιότητες
Συνεργατικές και ανταλλακτικές ιδιότητες Και οι δύο έχουν τύπους για προσθήκη και πολλαπλασιασμό. οανταλλακτική ιδιότητα της προσθήκηςλέει ότι αν προσθέσετε δύο αριθμούς, δεν έχει σημασία ποια σειρά τους βάλετε. Για παράδειγμα, το 4 + 5 είναι το ίδιο με το 5 + 4. Ο τύπος είναι:
a + b = b + α
Τυχόν αριθμούς για τους οποίους συνδέεστεένακαισιθα εξακολουθήσει να κάνει την ιδιοκτησία αληθινή.
ουπολογιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμούο τύπος διαβάζει
a × b = b × α
Αυτό σημαίνει ότι όταν πολλαπλασιάζετε δύο αριθμούς, δεν έχει σημασία ποιος αριθμός πληκτρολογείτε πρώτα. Θα πάρετε ακόμη 10 εάν πολλαπλασιάσετε 2 × 5 ή 5 × 2.
οσυσχετιστική ιδιοκτησία της προσθήκηςλέει ότι εάν ομαδοποιήσετε δύο αριθμούς και τους προσθέσετε και, στη συνέχεια, προσθέσετε έναν τρίτο αριθμό, δεν έχει σημασία τι ομαδοποίηση χρησιμοποιείτε. Σε μορφή φόρμουλας, μοιάζει
(a + b) + c = a + (b + c)
Για παράδειγμα
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ κείμενο {τότε} 2 + (3 + 4) = 9
Ομοίως, αν πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς και στη συνέχεια πολλαπλασιάσετε αυτό το προϊόν με έναν τρίτο αριθμό, δεν έχει σημασία τι δύο αριθμοί πολλαπλασιάζετε πρώτα. Σε μορφή τύπου, τοσυσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμούμοιάζει με
(a × b) c = a (b × c)
Για παράδειγμα, (2 × 3) 4 απλοποιείται σε 6 × 4, που ισούται με 24. Εάν ομαδοποιήσετε 2 (3 × 4) θα έχετε 2 × 12, και αυτό θα σας δώσει επίσης 24.
Μαθηματικά Ιδιότητες: Transitive and Distributive
ομεταβατική ιδιοκτησίαλέει ότι ανένα = σικαισι = ντο, έπειταένα = ντο. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά σε αλγεβρική υποκατάσταση. Για παράδειγμα,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {και} y = 3x + 4 \ κείμενο {, τότε} 4x - 2 = 3x + 4
Εάν γνωρίζετε ότι αυτές οι δύο τιμές είναι ίσες μεταξύ τους, μπορείτε να λύσετεΧ. Μόλις ξέρετεΧ, μπορείτε να λύσετεεαν είναι απαραίτητο.
οεπιμεριστική ιδιότητασας επιτρέπει να απαλλαγείτε από παρενθέσεις εάν υπάρχει ένας όρος έξω από αυτούς, όπως 2 (Χ− 4). Οι παρενθέσεις στα μαθηματικά υποδηλώνουν πολλαπλασιασμό και η διανομή κάτι σημαίνει ότι το μοιράζεστε. Έτσι, για να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα διανομής για την εξάλειψη παρενθέσεων, πολλαπλασιάστε τον όρο εκτός αυτών μεκάθεόρος μέσα τους. Έτσι, θα πολλαπλασιάσατε 2 καιΧνα πάρει 2Χ, και θα πολλαπλασιάσατε 2 και −4 για να λάβετε −8. Απλοποιημένο, μοιάζει με:
2 (x - 4) = 2x - 8
Ο τύπος για διανεμητική ιδιοκτησία είναι
a (b + c) = ab + ac
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα διανομής για να εξαγάγετε έναν κοινό παράγοντα από μια έκφραση. Αυτός ο τύπος είναι
ab + ac = a (b + c)
Για παράδειγμα, στην έκφραση 3Χ+ 9, και οι δύο όροι διαιρούνται με 3. Τραβήξτε το συντελεστή στο εξωτερικό των παρενθέσεων και αφήστε τα υπόλοιπα μέσα: 3 (Χ + 3).
Ιδιότητες της άλγεβρας για αρνητικούς αριθμούς
οπρόσθετη αντίστροφη ιδιότηταλέει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό με την αντίστροφη ή αρνητική του έκδοση, θα λάβετε μηδέν. Για παράδειγμα, −5 + 5 = 0. Σε ένα πραγματικό παράδειγμα, αν χρωστάτε σε κάποιον 5 $ και μετά λάβετε 5 $, δεν θα έχετε χρήματα, γιατί πρέπει να δώσετε αυτά τα 5 $ για να πληρώσετε το χρέος. Ο τύπος είναι
a + (−a) = 0 = (−a) + α
οπολλαπλασιαστική αντίστροφη ιδιότηταλέει ότι αν πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα με έναν στον αριθμητή και τον αριθμό στον παρονομαστή, θα λάβετε έναν:
a × \ frac {1} {a} = 1
Εάν πολλαπλασιάσετε το 2 με το 1/2, θα λάβετε 2/2. Οποιοσδήποτε αριθμός είναι πάντα 1.
Ιδιότητες άρνησηςυπαγορεύει τον πολλαπλασιασμό των αρνητικών αριθμών. Εάν πολλαπλασιάσετε έναν αρνητικό και έναν θετικό αριθμό, η απάντησή σας θα είναι αρνητική:
(-a) (b) = -ab \ text {και} - (ab) = -ab
Εάν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς αριθμούς, η απάντησή σας θα είναι θετική:
- (- a) = a \ κείμενο {και} (-a) (- b) = ab
Εάν έχετε αρνητικό εξωτερικό παρένθεση, αυτό το αρνητικό επισυνάπτεται σε ένα αόρατο 1. Αυτό το −1 διανέμεται σε κάθε όρο εντός των παρενθέσεων. Ο τύπος είναι
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Για παράδειγμα
- (x - 3) = -x + 3
γιατί ο πολλαπλασιασμός −1 και −3 θα σας δώσει 3.
Ιδιότητες του μηδέν
οιδιοκτησία ταυτότητας της προσθήκηςδηλώνει ότι εάν προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό και μηδέν, θα λάβετε τον αρχικό αριθμό:
a + 0 = α
Για παράδειγμα,
4 + 0 = 4
οπολλαπλασιαστική ιδιότητα μηδένδηλώνει ότι όταν πολλαπλασιάζετε οποιονδήποτε αριθμό με μηδέν, θα λαμβάνετε πάντα μηδέν:
a × 0 = 0
Για παράδειγμα
4 × 0 = 0
Χρησιμοποιώντας τομηδενική ιδιότητα προϊόντος,μπορείτε να γνωρίζετε με βεβαιότητα ότι εάν το προϊόν των δύο αριθμών είναι μηδέν, τότε ένα από τα πολλαπλάσια είναι μηδέν. Ο τύπος δηλώνει ότι
\ text {if} ab = 0 \ text {, τότε} a = 0 \ text {ή} b = 0
Ιδιότητες ισότητας
Οι ιδιότητες των ισοτιμιών δηλώνουν ότι ό, τι κάνετε στη μία πλευρά της εξίσωσης, πρέπει να κάνετε στην άλλη. οπροσθήκη ιδιοκτησίας της ισότηταςδηλώνει ότι εάν έχετε έναν αριθμό στη μία πλευρά, πρέπει να τον προσθέσετε στην άλλη. Για παράδειγμα,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ κείμενο {, τότε} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
οιδιοκτησία αφαίρεσης της ισότηταςδηλώνει ότι εάν αφαιρέσετε έναν αριθμό από τη μία πλευρά, πρέπει να τον αφαιρέσετε από την άλλη. Για παράδειγμα,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, τότε} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Αυτό θα σας έδινε
x + 1 = 2x - 4
καιΧθα ισούται με 5 και στις δύο εξισώσεις.
οιδιότητα πολλαπλασιασμού της ισότηταςδηλώνει ότι αν πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό στη μία πλευρά, πρέπει να τον πολλαπλασιάσετε με την άλλη. Αυτή η ιδιότητα σάς επιτρέπει να επιλύετε εξισώσεις διαίρεσης. Για παράδειγμα, εάν
\ frac {x} {4} = 2
πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4 για να πάρετεΧ = 8.
οδιαίρεση ιδιοκτησία της ισότηταςσας επιτρέπει να επιλύσετε εξισώσεις πολλαπλασιασμού γιατί αυτό που χωρίζετε από τη μία πλευρά, πρέπει να το διαιρέσετε από την άλλη. Για παράδειγμα, διαιρέστε
2x = 8
από 2 και στις δύο πλευρές, αποδίδοντας
x = 4