Στην άλγεβρα, οι ακολουθίες των αριθμών είναι πολύτιμες για τη μελέτη του τι συμβαίνει καθώς κάτι συνεχίζει να γίνεται μεγαλύτερο ή μικρότερο. Μια αριθμητική ακολουθία ορίζεται από την κοινή διαφορά, που είναι η διαφορά μεταξύ ενός αριθμού και του επόμενου στην ακολουθία. Για αριθμητικές ακολουθίες, αυτή η διαφορά είναι μια σταθερή τιμή και μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Ως αποτέλεσμα, μια αριθμητική ακολουθία συνεχίζει να μεγαλώνει ή να μειώνεται κατά ένα σταθερό ποσό κάθε φορά που ένας νέος αριθμός προστίθεται στη λίστα που αποτελεί τη σειρά.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια λίστα αριθμών στους οποίους διαδοχικοί όροι διαφέρουν κατά ένα σταθερό ποσό, η κοινή διαφορά. Όταν η κοινή διαφορά είναι θετική, η ακολουθία συνεχίζει να αυξάνεται κατά ένα σταθερό ποσό, ενώ αν είναι αρνητική, η ακολουθία μειώνεται. Άλλες κοινές ακολουθίες είναι η γεωμετρική ακολουθία, στην οποία οι όροι διαφέρουν από έναν κοινό παράγοντα, και η ακολουθία Fibonacci, στην οποία κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών.
Πώς λειτουργεί μια αριθμητική ακολουθία
Μια αριθμητική ακολουθία ορίζεται από έναν αρχικό αριθμό, μια κοινή διαφορά και τον αριθμό των όρων στην ακολουθία. Για παράδειγμα, μια αριθμητική ακολουθία που αρχίζει με 12, μια κοινή διαφορά 3 και πέντε όρων είναι 12, 15, 18, 21, 24. Ένα παράδειγμα μιας φθίνουσας ακολουθίας είναι ένα ξεκινώντας με τον αριθμό 3, μια κοινή διαφορά −2 και έξι όρων. Αυτή η ακολουθία είναι 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Οι αριθμητικές ακολουθίες μπορούν επίσης να έχουν έναν άπειρο αριθμό όρων. Για παράδειγμα, η πρώτη ακολουθία με έναν άπειρο αριθμό όρων θα ήταν 12, 15, 18,... και αυτή η ακολουθία συνεχίζει στο άπειρο.
Αριθμητικός μέσος όρος
Μια αριθμητική ακολουθία έχει μια αντίστοιχη σειρά που προσθέτει όλους τους όρους της ακολουθίας. Όταν προστίθενται οι όροι και το άθροισμα διαιρείται με τον αριθμό των όρων, το αποτέλεσμα είναι ο αριθμητικός μέσος ή μέσος όρος. Ο τύπος για τον αριθμητικό μέσο είναι
\ text {mean} = \ frac {\ text {άθροισμα} n \ κείμενο {όρους}} {n}
Ένας γρήγορος τρόπος υπολογισμού του μέσου όρου μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι να χρησιμοποιήσετε την παρατήρηση που, όταν το πρώτο και το τελευταίο προστίθενται όροι, το άθροισμα είναι το ίδιο με όταν προστίθενται οι δεύτεροι και δίπλα στους τελευταίους όρους ή ο τρίτος και τρίτος για τελευταία όροι. Ως αποτέλεσμα, το άθροισμα της ακολουθίας είναι το άθροισμα των πρώτων και τελευταίων όρων επί το ήμισυ του αριθμού των όρων. Για να πάρετε το μέσο όρο, το άθροισμα διαιρείται με τον αριθμό των όρων, έτσι ο μέσος όρος μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι το μισό του αθροίσματος των πρώτων και τελευταίων όρων. Γιανόροιένα1 προς τηνέναν, ο αντίστοιχος τύπος για το μέσο m είναι
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Οι άπειρες αριθμητικές ακολουθίες δεν έχουν τελευταίο όρο, και ως εκ τούτου ο μέσος όρος τους είναι απροσδιόριστος. Αντ 'αυτού, ένας μέσος όρος για ένα μερικό άθροισμα μπορεί να βρεθεί περιορίζοντας το άθροισμα σε έναν καθορισμένο αριθμό όρων. Σε αυτήν την περίπτωση, το μερικό άθροισμα και ο μέσος όρος του μπορούν να βρεθούν με τον ίδιο τρόπο όπως για μια μη άπειρη ακολουθία.
Άλλοι τύποι ακολουθιών
Οι ακολουθίες των αριθμών βασίζονται συχνά σε παρατηρήσεις από πειράματα ή μετρήσεις φυσικών φαινομένων. Τέτοιες ακολουθίες μπορεί να είναι τυχαίοι αριθμοί, αλλά συχνά οι ακολουθίες αποδεικνύονται αριθμητικές ή άλλες ταξινομημένες λίστες αριθμών.
Για παράδειγμα, οι γεωμετρικές αλληλουχίες διαφέρουν από τις αριθμητικές ακολουθίες επειδή έχουν έναν κοινό παράγοντα παρά μια κοινή διαφορά. Αντί να προστίθεται ή να αφαιρείται ένας αριθμός για κάθε νέο όρο, ένας αριθμός πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται κάθε φορά που προστίθεται ένας νέος όρος. Μια ακολουθία που είναι 10, 12, 14,... ως αριθμητική ακολουθία με κοινή διαφορά 2 γίνεται 10, 20, 40,... ως γεωμετρική ακολουθία με κοινό συντελεστή 2.
Άλλες ακολουθίες ακολουθούν εντελώς διαφορετικούς κανόνες. Για παράδειγμα, οι όροι ακολουθίας Fibonacci σχηματίζονται προσθέτοντας τους δύο προηγούμενους αριθμούς. Η ακολουθία του είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Οι όροι πρέπει να προστεθούν ξεχωριστά για να λάβουν ένα μερικό άθροισμα, επειδή η γρήγορη μέθοδος προσθήκης του πρώτου και του τελευταίου όρου δεν λειτουργεί για αυτήν την ακολουθία.
Οι αριθμητικές ακολουθίες είναι απλές αλλά έχουν πραγματικές εφαρμογές. Εάν το σημείο εκκίνησης είναι γνωστό και μπορεί να βρεθεί η κοινή διαφορά, μπορεί να υπολογιστεί η τιμή της σειράς σε ένα συγκεκριμένο σημείο στο μέλλον και μπορεί να προσδιοριστεί και η μέση τιμή.