Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι οποιαδήποτε σειρά αριθμών διατεταγμένη με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Μια ακολουθία γίνεται μια γεωμετρική ακολουθία όταν μπορείτε να λάβετε κάθε αριθμό πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο αριθμό με έναν κοινό παράγοντα. Για παράδειγμα, οι σειρές 1, 2, 4, 8, 16... είναι μια γεωμετρική ακολουθία με τον κοινό παράγοντα 2. Εάν πολλαπλασιάσετε οποιονδήποτε αριθμό στη σειρά με 2, θα λάβετε τον επόμενο αριθμό. Αντίθετα, η ακολουθία 2, 3, 5, 8, 14, 22... δεν είναι γεωμετρικό γιατί δεν υπάρχει κοινός παράγοντας μεταξύ των αριθμών. Μια γεωμετρική ακολουθία μπορεί να έχει έναν κλασματικό κοινό παράγοντα, οπότε κάθε διαδοχικός αριθμός είναι μικρότερος από αυτόν που προηγείται. 1, 1/2, 1/4, 1/8... είναι ένα παράδειγμα. Ο κοινός παράγοντας είναι 1/2.

Το γεγονός ότι μια γεωμετρική ακολουθία έχει έναν κοινό παράγοντα σας επιτρέπει να κάνετε δύο πράγματα. Ο πρώτος είναι να υπολογίσει οποιοδήποτε τυχαίο στοιχείο στην ακολουθία (που οι μαθηματικοί επιθυμούν να ονομάσουν "νth "στοιχείο), και το δεύτερο είναι να βρείτε το άθροισμα της γεωμετρικής ακολουθίας έως το

ντο στοιχείο. Όταν αθροίζετε την ακολουθία τοποθετώντας ένα σύμβολο συν μεταξύ κάθε ζεύγους όρων, μετατρέπετε την ακολουθία σε γεωμετρική σειρά.

Βρίσκοντας το ένατο στοιχείο σε μια γεωμετρική σειρά

Γενικά, μπορείτε να αντιπροσωπεύσετε οποιαδήποτε γεωμετρική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .

όπου "ένα"είναι ο πρώτος όρος της σειράς και"ρ"είναι ο κοινός παράγοντας. Για να το ελέγξετε, εξετάστε τη σειρά στην οποίαένα= 1 καιρ= 2. Παίρνετε 1 + 2 + 4 + 8 + 16... δουλεύει!

Έχοντας αποδείξει αυτό, είναι πλέον δυνατό να αντλήσουμε έναν τύπο για τον ένατο όρο στη σειρά (Χν).

x_n = ar ^ {(n-1)}

Ο εκθέτης είναιν- 1 αντί γιαννα επιτρέψει στον πρώτο όρο της ακολουθίας να γραφτεί ωςαρ0, που ισούται με "ένα​."

Ελέγξτε αυτό υπολογίζοντας τον 4ο όρο στη σειρά παραδειγμάτων.

x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8

Υπολογισμός του αθροίσματος μιας γεωμετρικής ακολουθίας

Εάν θέλετε να συνοψίσετε μια αποκλίνουσα ακολουθία, η οποία είναι μία με κοινή αναλογία μεγαλύτερη από 1 ή μικρότερη από -1, μπορείτε να το κάνετε μόνο μέχρι έναν πεπερασμένο αριθμό όρων. Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε το άθροισμα μιας άπειρης σύγκλισης ακολουθίας, ωστόσο, που είναι μία με κοινή αναλογία μεταξύ 1 και - 1.

Για να αναπτύξετε τον τύπο γεωμετρικού αθροίσματος, ξεκινήστε εξετάζοντας το τι κάνετε. Αναζητάτε το σύνολο των ακόλουθων σειρών προσθηκών:

a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}

Κάθε όρος της σειράς είναιαρκ, καικπηγαίνει από 0 έωςν− 1. Ο τύπος για το άθροισμα της σειράς χρησιμοποιεί το σύμβολο sigma κεφαλαίου - ∑ - που σημαίνει να προσθέσετε όλους τους όρους από (κ= 0) έως (κ​ = ​ν​ − 1).

\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)

Για να το ελέγξετε, σκεφτείτε το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της γεωμετρικής σειράς που ξεκινούν από το 1 και έχουν έναν κοινό συντελεστή 2. Στον παραπάνω τύπο,ένα​ = 1, ​ρ= 2 καιν= 4. Συνδέοντας αυτές τις τιμές, λαμβάνετε:

1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί προσθέτοντας μόνοι σας τους αριθμούς στη σειρά. Στην πραγματικότητα, όταν χρειάζεστε το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς, είναι συνήθως πιο εύκολο να προσθέσετε τους αριθμούς μόνοι σας όταν υπάρχουν μόνο μερικοί όροι. Αν όμως η σειρά έχει μεγάλο αριθμό όρων, είναι πολύ πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο γεωμετρικού αθροίσματος.

  • Μερίδιο
instagram viewer