Μια σειρά Taylor είναι μια αριθμητική μέθοδος αναπαράστασης μιας δεδομένης συνάρτησης. Αυτή η μέθοδος έχει εφαρμογή σε πολλούς τομείς της μηχανικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως η μεταφορά θερμότητας, η διαφορική ανάλυση οδηγεί σε μια εξίσωση που ταιριάζει με τη μορφή μιας σειράς Taylor. Μια σειρά Taylor μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει ένα ακέραιο εάν το ολοκλήρωμα αυτής της λειτουργίας δεν υπάρχει αναλυτικά. Αυτές οι αναπαραστάσεις δεν είναι ακριβείς τιμές, αλλά ο υπολογισμός περισσότερων όρων στη σειρά θα κάνει την προσέγγιση πιο ακριβή.
Επιλέξτε ένα κέντρο για τη σειρά Taylor. Αυτός ο αριθμός είναι αυθαίρετος, αλλά είναι καλή ιδέα να επιλέξετε ένα κέντρο όπου υπάρχει συμμετρία στη συνάρτηση ή όπου η τιμή για το κέντρο απλοποιεί τα μαθηματικά του προβλήματος. Εάν υπολογίζετε την παράσταση της σειράς Taylor του f (x) = sin (x), ένα καλό κέντρο που πρέπει να χρησιμοποιήσετε είναι το = 0.
Καθορίστε τον αριθμό των όρων που θέλετε να υπολογίσετε. Όσο περισσότεροι όροι χρησιμοποιείτε, τόσο πιο ακριβής θα είναι η εκπροσώπησή σας, αλλά δεδομένου ότι μια σειρά Taylor είναι μια άπειρη σειρά, είναι αδύνατο να συμπεριληφθούν όλοι οι πιθανοί όροι. Το παράδειγμα sin (x) θα χρησιμοποιεί έξι όρους.
Υπολογίστε τα παράγωγα που θα χρειαστείτε για τη σειρά. Για αυτό το παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε όλα τα παράγωγα έως το έκτο παράγωγο. Δεδομένου ότι η σειρά Taylor ξεκινά από το "n = 0", πρέπει να συμπεριλάβετε το παράγωγο "0th", το οποίο είναι απλώς η αρχική συνάρτηση. 0ο παράγωγο = sin (x) 1st = cos (x) 2nd = -sin (x) 3rd = -cos (x) 4th = sin (x) 5th = cos (x) 6th = -sin (x)
Υπολογίστε την τιμή για κάθε παράγωγο στο κέντρο που επιλέξατε. Αυτές οι τιμές θα είναι οι αριθμητές για τους πρώτους έξι όρους της σειράς Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Χρησιμοποιήστε τους υπολογισμούς παραγώγων και το κέντρο για να προσδιορίσετε τους όρους της σειράς Taylor. 1η θητεία; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2η θητεία; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3η θητεία n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4η θητεία n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5η θητεία; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6η θητεία; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor σειρά για sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Βάλτε τους μηδενικούς όρους στη σειρά και απλοποιήστε την έκφραση αλγεβρικά για να προσδιορίσετε την απλοποιημένη αναπαράσταση της συνάρτησης. Αυτή θα είναι μια εντελώς διαφορετική σειρά, επομένως οι τιμές για το "n" που χρησιμοποιήθηκαν προηγουμένως δεν ισχύουν πλέον. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Δεδομένου ότι τα σημάδια εναλλάσσονται μεταξύ θετικών και αρνητικών, το πρώτο συστατικό της απλουστευμένης εξίσωσης πρέπει να είναι (-1) ^ n, καθώς δεν υπάρχουν ζυγοί αριθμοί στη σειρά. Ο όρος (-1) ^ n οδηγεί σε αρνητικό σημάδι όταν το n είναι μονό και ένα θετικό σημάδι όταν το n είναι ζυγό. Η αναπαράσταση της σειράς των μονών αριθμών είναι (2n + 1). Όταν n = 0, αυτός ο όρος ισούται με 1; όταν n = 1, αυτός ο όρος ισούται με 3 και ούτω καθεξής στο άπειρο. Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήστε αυτήν την αναπαράσταση για τους εκθέτες του x και τα παραγοντικά στον παρονομαστή
Χρησιμοποιήστε την αναπαράσταση της συνάρτησης αντί της αρχικής λειτουργίας. Για πιο προηγμένες και πιο δύσκολες εξισώσεις, μια σειρά Taylor μπορεί να επιλύσει μια μη επιλύσιμη εξίσωση ή τουλάχιστον να δώσει μια λογική αριθμητική λύση.