Η επίλυση των ανισοτήτων απόλυτης τιμής μοιάζει πολύ με την επίλυση εξισώσεων απόλυτης τιμής, αλλά υπάρχουν μερικές επιπλέον λεπτομέρειες που πρέπει να θυμάστε. Βοηθά να είναι ήδη άνετα στην επίλυση εξισώσεων απόλυτης αξίας, αλλά είναι εντάξει αν τις μαθαίνετε και μαζί!
Ορισμός της ανισότητας απόλυτης αξίας
Πρώτα απ 'όλα, ένααπόλυτη ανισότητα αξίαςείναι μια ανισότητα που περιλαμβάνει έκφραση απόλυτης τιμής. Για παράδειγμα,
| 5 + x | - 10> 6
είναι μια ανισότητα απόλυτης τιμής επειδή έχει ένα σημάδι ανισότητας,> και μια απόλυτη έκφραση τιμής, | 5+Χ |.
Τρόπος επίλυσης ανισότητας απόλυτης τιμής
οβήματα για την επίλυση μιας απόλυτης ανισότητας αξίαςμοιάζουν πολύ με τα βήματα για την επίλυση μιας εξίσωσης απόλυτης αξίας:
Βήμα 1:Απομονώστε την απόλυτη τιμή έκφραση από τη μία πλευρά της ανισότητας.
Βήμα 2:Λύστε τη θετική «έκδοση» της ανισότητας.
Βήμα 3:Λύστε την αρνητική «έκδοση» της ανισότητας πολλαπλασιάζοντας την ποσότητα στην άλλη πλευρά της ανισότητας με −1 και αναστρέφοντας το σύμβολο ανισότητας.
Αυτό είναι πολλά που πρέπει να λάβετε ταυτόχρονα, οπότε εδώ είναι ένα παράδειγμα που θα σας καθοδηγήσει στα βήματα.
Λύστε την ανισότητα γιαΧ:
| 5 + 5x | - 3> 2
Για να το κάνετε αυτό, λάβετε | 5 + 5Χ| από μόνη της στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσθέσετε 3 σε κάθε πλευρά:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Τώρα υπάρχουν δύο "εκδόσεις" της ανισότητας που πρέπει να επιλύσουμε: η θετική "έκδοση" και η αρνητική "έκδοση".
Για αυτό το βήμα, θα υποθέσουμε ότι τα πράγματα είναι όπως εμφανίζονται: ότι 5 + 5Χ > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Αυτή είναι μια απλή ανισότητα. απλά πρέπει να λύσειςΧως συνήθως. Αφαιρέστε το 5 και από τις δύο πλευρές και, στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 5.
\ start {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(αφαίρεση πέντε και από τις δύο πλευρές)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(διαιρέστε και τις δύο πλευρές με πέντε)} \\ & x> 0 \ end {aligned}
Όχι κακό! Έτσι, μια πιθανή λύση στην ανισότητα μας είναι αυτήΧ> 0. Τώρα, δεδομένου ότι υπάρχουν απόλυτες τιμές, είναι καιρός να εξετάσουμε μια άλλη πιθανότητα.
Για να κατανοήσετε αυτό το επόμενο κομμάτι, βοηθά να θυμάστε τι σημαίνει απόλυτη τιμή.Απόλυτη τιμήμετρά την απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν. Η απόσταση είναι πάντα θετική, οπότε το 9 είναι εννέα μονάδες μακριά από το μηδέν, αλλά το −9 είναι επίσης εννέα μονάδες μακριά από το μηδέν.
Έτσι | 9 | = 9, αλλά | −9 | = 9 επίσης.
Τώρα επιστρέψτε στο παραπάνω πρόβλημα. Η παραπάνω εργασία έδειξε ότι | 5 + 5Χ| > 5; Με άλλα λόγια, η απόλυτη τιμή του "κάτι" είναι μεγαλύτερη από πέντε. Τώρα, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μεγαλύτερος από πέντε θα είναι μακρύτερος από το μηδέν από το πέντε είναι. Έτσι, η πρώτη επιλογή ήταν ότι "κάτι", 5 + 5Χ, είναι μεγαλύτερο από 5.
Αυτό είναι:
5 + 5x> 5
Αυτό είναι το σενάριο που εξετάστηκε παραπάνω, στο Βήμα 2.
Τώρα σκεφτείτε λίγο πιο μακριά. Τι άλλο απέχει πέντε μονάδες από το μηδέν; Λοιπόν, το αρνητικό πέντε είναι. Και οτιδήποτε άλλο κατά μήκος της γραμμής αριθμών από αρνητικά πέντε θα είναι ακόμη πιο μακριά από το μηδέν. Έτσι, το "κάτι" μας θα μπορούσε να είναι ένας αρνητικός αριθμός που απέχει πολύ από το μηδέν από το αρνητικό πέντε. Αυτό σημαίνει ότι θα ήταν ένας μεγαλύτερος αριθμός, αλλά τεχνικάλιγότερο απόαρνητικό πέντε επειδή κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση στη γραμμή αριθμών.
Έτσι, το "κάτι" μας, 5 + 5x, θα μπορούσε να είναι μικρότερο από −5.
5 + 5x
Ο γρήγορος τρόπος για να το κάνετε αυτό αλγεβρικά είναι να πολλαπλασιάσετε την ποσότητα στην άλλη πλευρά της ανισότητας, 5, με αρνητική, και στη συνέχεια να αναστρέψετε το σύμβολο ανισότητας:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Στη συνέχεια λύστε ως συνήθως.
\ start {aligned} & 5 + 5x
Έτσι, οι δύο πιθανές λύσεις για την ανισότητα είναιΧ> 0 ήΧ< −2. Ελέγξτε τον εαυτό σας συνδέοντας μερικές πιθανές λύσεις για να βεβαιωθείτε ότι η ανισότητα εξακολουθεί να ισχύει.
Ανισότητες απόλυτης τιμής χωρίς λύση
Υπάρχει ένα σενάριο όπου θα υπήρχεκαμία λύση για μια απόλυτη ανισότητα αξίας. Δεδομένου ότι οι απόλυτες τιμές είναι πάντα θετικές, δεν μπορούν να είναι ίσες ή μικρότερες από τους αρνητικούς αριθμούς.
Έτσι |Χ| καμία λύσηγιατί το αποτέλεσμα μιας απόλυτης έκφρασης αξίας πρέπει να είναι θετικό.
Σημείωση διαστήματος
Για να γράψετε τη λύση στο βασικό μας παράδειγμα στοσυμβολισμός διαστήματος, σκεφτείτε πώς φαίνεται η λύση στη γραμμή αριθμών. Η λύση μας ήτανΧ> 0 ήΧ< −2. Σε μια αριθμητική γραμμή, αυτή είναι μια ανοιχτή κουκκίδα στο 0, με μια γραμμή που εκτείνεται έως το θετικό άπειρο και μια ανοιχτή τελεία στα −2, με μια γραμμή που εκτείνεται μακριά στο αρνητικό άπειρο. Αυτές οι λύσεις απομακρύνονται το ένα από το άλλο, όχι το ένα προς το άλλο, οπότε πάρτε κάθε κομμάτι ξεχωριστά.
Για το x> 0 σε μια γραμμή αριθμών, υπάρχει μια ανοιχτή τελεία στο μηδέν και μετά μια γραμμή που εκτείνεται μέχρι το άπειρο. Στη σημειογραφία του διαστήματος, μια ανοιχτή κουκκίδα απεικονίζεται με παρενθέσεις, () και μια κλειστή κουκκίδα, ή ανισότητες με ≥ ή ≤, θα χρησιμοποιούσαν αγκύλες, []. Ετσι, γιαΧ> 0, γράψτε (0, ∞).
Το άλλο μισό,Χ
"Ή" στο συμβολικό διάστημα είναι το σύμβολο ένωσης, union.
Έτσι, η λύση στον συμβολισμό διαστήματος είναι
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)