Πώς να βρείτε παράγωγα

Μία από τις σημαντικές λειτουργίες που κάνετε στον λογισμό είναι να βρείτε παράγωγα. Το παράγωγο μιας συνάρτησης ονομάζεται επίσης ο ρυθμός αλλαγής αυτής της συνάρτησης. Για παράδειγμα, εάν x (t) είναι η θέση ενός αυτοκινήτου ανά πάσα στιγμή t, τότε το παράγωγο του x, το οποίο είναι γραμμένο dx / dt, είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου. Επίσης, το παράγωγο μπορεί να απεικονιστεί ως η κλίση μιας γραμμής εφαπτομένης στο γράφημα μιας συνάρτησης. Σε θεωρητικό επίπεδο, έτσι οι μαθηματικοί βρίσκουν παράγωγα. Στην πράξη, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν σύνολα βασικών κανόνων και πίνακες αναζήτησης.

Η κλίση μιας γραμμής μεταξύ δύο σημείων είναι η άνοδος, ή η διαφορά στις τιμές y διαιρούμενη με την εκτέλεση, ή η διαφορά στις τιμές x. Η κλίση μιας συνάρτησης y (x) για μια συγκεκριμένη τιμή του x ορίζεται ως η κλίση μιας γραμμής που είναι εφαπτομένη στη συνάρτηση στο σημείο [x, y (x)]. Για να υπολογίσετε την κλίση δημιουργείτε μια γραμμή μεταξύ του σημείου [x, y (x)] και ενός κοντινού σημείου [x + h, y (x + h)], όπου το h είναι ένας πολύ μικρός αριθμός. Για αυτήν τη γραμμή, η εκτέλεση, ή αλλαγή στην τιμή x είναι h, και η άνοδος, ή η αλλαγή στην τιμή y, είναι y (x + h) - y (x). Κατά συνέπεια, η κλίση του y (x) στο σημείο [x, y (x)] είναι περίπου ίση με [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Για να φτάσετε ακριβώς την κλίση, υπολογίζετε την τιμή της κλίσης καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο, στο "όριο" όπου φτάνει στο μηδέν. Η κλίση που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι το παράγωγο του y (x), το οποίο γράφεται ως y ’(x) ή dy ​​/ dx.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο κλίσης / ορίου για να υπολογίσετε τα παράγωγα των συναρτήσεων όπου το y ισούται με το x με τη δύναμη του a, ή y (x) = x ^ a. Για παράδειγμα, εάν το y ισούται με x κύβους, y (x) = x ^ 3, τότε το dy / dx είναι το όριο καθώς το h πηγαίνει στο μηδέν του [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Η επέκταση (x + h) ^ 3 δίνει [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, η οποία μειώνεται σε 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 μετά τη διαίρεση από h. Στο όριο καθώς το h πηγαίνει στο μηδέν, όλοι οι όροι που έχουν h σε αυτούς πηγαίνουν επίσης στο μηδέν. Λοιπόν, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Μπορείτε να το κάνετε αυτό για τιμές άλλες από 3 και, γενικά, μπορείτε να δείξετε ότι d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Πολλές συναρτήσεις μπορούν να γραφτούν ως λεγόμενες σειρές ισχύος, που είναι το άθροισμα των όρων άπειρου αριθμού, όπου το καθένα έχει τη μορφή C (n) x ^ n, όπου το x είναι μια μεταβλητή, το n είναι ακέραιος και το C (n) είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός για κάθε τιμή ν. Για παράδειγμα, η σειρά ισχύος για τη συνάρτηση ημιτονοειδούς είναι Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., όπου "..." σημαίνει όρους που συνεχίζονται στο άπειρο. Εάν γνωρίζετε τη σειρά ισχύος για μια συνάρτηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το παράγωγο της ισχύος x ^ n για να υπολογίσετε το παράγωγο της συνάρτησης. Για παράδειγμα, το παράγωγο του Sin (x) είναι ίσο με 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., το οποίο συμβαίνει να είναι η σειρά ισχύος για το Cos (x).

Τα παράγωγα βασικών συναρτήσεων, όπως δυνάμεις όπως x ^ a, εκθετικές συναρτήσεις, συναρτήσεις log και συναρτήσεις trig, βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κλίσης / ορίου, τη μέθοδο σειράς ισχύος ή άλλες μεθόδους. Αυτά τα παράγωγα αναφέρονται στη συνέχεια σε πίνακες. Για παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι το παράγωγο του Sin (x) είναι Cos (x). Όταν οι σύνθετες συναρτήσεις είναι συνδυασμοί των βασικών λειτουργιών, χρειάζεστε ειδικούς κανόνες, όπως ο κανόνας αλυσίδας και ο κανόνας προϊόντος, οι οποίοι δίνονται επίσης στους πίνακες. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείτε τον κανόνα αλυσίδας για να διαπιστώσετε ότι το παράγωγο του Sin (x ^ 2) είναι 2xCos (x ^ 2). Χρησιμοποιείτε τον κανόνα προϊόντος για να διαπιστώσετε ότι το παράγωγο του xSin (x) είναι xCos (x) + Sin (x). Χρησιμοποιώντας πίνακες και απλούς κανόνες, μπορείτε να βρείτε το παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης. Αλλά όταν μια λειτουργία είναι εξαιρετικά περίπλοκη, οι επιστήμονες μερικές φορές καταφεύγουν σε προγράμματα υπολογιστή για βοήθεια.