Μια διωνυμική κατανομή περιγράφει μια μεταβλητή Χ εάν 1) υπάρχει ένας σταθερός αριθμός ν παρατηρήσεις της μεταβλητής · 2) όλες οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. 3) η πιθανότητα επιτυχίας Π είναι το ίδιο για κάθε παρατήρηση? και 4) κάθε παρατήρηση αντιπροσωπεύει ένα από τα δύο πιθανά αποτελέσματα (εξ ου και η λέξη "διωνυμική" - σκεφτείτε "δυαδική"). Αυτή η τελευταία πιστοποίηση διακρίνει τις διωνυμικές κατανομές από τις διανομές Poisson, οι οποίες ποικίλλουν συνεχώς παρά διακριτικά.
Μια τέτοια διανομή μπορεί να γραφτεί σι(ν, Π).
Υπολογισμός της πιθανότητας μιας δεδομένης παρατήρησης
Πείτε μια τιμή κ βρίσκεται κάπου κατά μήκος του γραφήματος της διωνυμικής κατανομής, η οποία είναι συμμετρική για το μέσο όρο np. Για να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι μια παρατήρηση θα έχει αυτήν την τιμή, αυτή η εξίσωση πρέπει να λυθεί:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
όπου
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
Ο "!" δηλώνει μια παραγοντική συνάρτηση, π.χ. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Παράδειγμα
Ας πούμε ότι ένας παίκτης μπάσκετ παίρνει 24 δωρεάν βολές και έχει καθορισμένο ποσοστό επιτυχίας 75 τοις εκατό (Π = 0.75). Ποιες είναι οι πιθανότητες να χτυπήσει ακριβώς 20 από τα 24 σουτ της;
Πρώτος υπολογισμός (ν: κ) ως εξής:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Ετσι
P (20) = 10,626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Αυτός ο παίκτης έχει επομένως 13,1 τοις εκατό πιθανότητα να κάνει ακριβώς 20 από τις 24 ελεύθερες βολές, σύμφωνα με το τι μπορεί να έχει η διαίσθηση πρότεινε για έναν παίκτη που συνήθως θα έπαιρνε 18 από τις 24 ελεύθερες βολές (λόγω του καθορισμένου ποσοστού επιτυχίας της κατά 75%).