Τίποτα δεν μπερδεύει μια εξίσωση σαν λογάριθμους. Είναι δύσκολο, δύσκολο να χειριστούν και λίγο μυστηριώδη για μερικούς ανθρώπους. Ευτυχώς, υπάρχει ένας εύκολος τρόπος για να απαλλαγείτε από την εξίσωση αυτών των ενοχλητικών μαθηματικών εκφράσεων. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να θυμάστε ότι ένας λογάριθμος είναι το αντίστροφο ενός εκθέτη. Αν και η βάση ενός λογάριθμου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, οι πιο κοινές βάσεις που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη είναι το 10 και το e, που είναι ένας παράλογος αριθμός γνωστός ως αριθμός του Euler. Για τη διάκρισή τους, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν το "log" όταν η βάση είναι 10 και "ln" όταν η βάση είναι e.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Για να απαλλαγείτε από μια εξίσωση λογάριθμων, ανασηκώστε και τις δύο πλευρές στον ίδιο εκθέτη με τη βάση των λογαρίθμων. Σε εξισώσεις με μικτούς όρους, συλλέξτε όλους τους λογάριθμους από τη μία πλευρά και απλοποιήστε πρώτα.
Τι είναι ο λογάριθμος;
Η έννοια του λογάριθμου είναι απλή, αλλά είναι λίγο δύσκολο να διατυπωθεί με λόγια. Ένας λογάριθμος είναι ο αριθμός των φορών που πρέπει να πολλαπλασιάσετε από μόνος του για να λάβετε έναν άλλο αριθμό. Ένας άλλος τρόπος για να πούμε είναι ότι ένας λογάριθμος είναι η δύναμη στην οποία ένας συγκεκριμένος αριθμός - που ονομάζεται βάση - πρέπει να ανυψωθεί για να πάρει έναν άλλο αριθμό. Η δύναμη ονομάζεται το επιχείρημα του λογάριθμου.
Για παράδειγμα, καταγραφή82 = 64 σημαίνει απλώς ότι η αύξηση 8 στη δύναμη του 2 δίνει 64. Στο αρχείο εξισώσεων Χ = 100, η βάση θεωρείται 10 και μπορείτε εύκολα να λύσετε το επιχείρημα, Χ γιατί απαντά στην ερώτηση, "10 εγείρονται σε ποια δύναμη ισούται με 100;" Η απάντηση είναι 2.
Ένας λογάριθμος είναι το αντίστροφο ενός εκθέτη. Το ημερολόγιο εξίσωσης Χ = 100 είναι ένας άλλος τρόπος γραφής 10_Χ_ = 100. Αυτή η σχέση καθιστά δυνατή την αφαίρεση των λογαρίθμων από μια εξίσωση, αυξάνοντας και τις δύο πλευρές στον ίδιο εκθέτη με τη βάση του λογάριθμου. Εάν η εξίσωση περιέχει περισσότερους από έναν λογάριθμους, πρέπει να έχουν την ίδια βάση για να λειτουργήσει αυτό.
Παραδείγματα
Στην απλούστερη περίπτωση, ο λογάριθμος ενός άγνωστου αριθμού ισούται με έναν άλλο αριθμό:
\ log x = y
Σηκώστε και τις δύο πλευρές σε εκθέτες των 10, και θα πάρετε
10 ^ {\ log x} = 10 ^ ε
Από τις 10(ημερολόγιο x) είναι απλά Χ, η εξίσωση γίνεται
x = 10 ^ ε
Όταν όλοι οι όροι της εξίσωσης είναι λογάριθμοι, η αύξηση των δύο πλευρών σε έναν εκθέτη παράγει μια τυπική αλγεβρική έκφραση. Για παράδειγμα, αύξηση
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
με ισχύ 10 και παίρνετε:
x ^ 2 - 1 = x + 1
που απλοποιείται
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Οι λύσεις είναι Χ = −2; Χ = 1.
Σε εξισώσεις που περιέχουν ένα μείγμα λογαρίθμων και άλλων αλγεβρικών όρων, είναι σημαντικό να συλλέξετε όλους τους λογάριθμους στη μία πλευρά της εξίσωσης. Στη συνέχεια, μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε όρους. Σύμφωνα με το νόμο των λογαρίθμων, ισχύουν τα ακόλουθα:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Ακολουθεί μια διαδικασία για την επίλυση μιας εξίσωσης με μικτούς όρους:
Ξεκινήστε με την εξίσωση: Για παράδειγμα
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Αναδιάταξη των όρων:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Εφαρμόστε το νόμο των λογαρίθμων:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Ανυψώστε και τις δύο πλευρές με ισχύ 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Λύστε για Χ:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002