Η επίλυση πολυωνυμικών λειτουργιών είναι μια βασική δεξιότητα για όποιον σπουδάζει μαθηματικά ή φυσική, αλλά η αντιμετώπιση της διαδικασίας - ειδικά όταν πρόκειται για λειτουργίες υψηλότερης τάξης - μπορεί να είναι αρκετά δύσκολη. Μια κυβική συνάρτηση είναι ένας από τους πιο απαιτητικούς τύπους πολυωνυμικής εξίσωσης που ίσως χρειαστεί να επιλύσετε με το χέρι. Αν και δεν μπορεί να είναι τόσο απλή όσο η επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης, υπάρχουν μερικές μέθοδοι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να βρείτε τη λύση σε μια κυβική εξίσωση χωρίς να καταφύγετε σε σελίδες και σελίδες λεπτομερών άλγεβρα.
Τι είναι μια κυβική συνάρτηση;
Μια κυβική συνάρτηση είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Μια γενική πολυωνυμική συνάρτηση έχει τη μορφή:
f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k
Εδώ, Χ είναι η μεταβλητή, ν είναι απλώς οποιοσδήποτε αριθμός (και ο βαθμός του πολυωνύμου), κ είναι μια σταθερά και τα άλλα γράμματα είναι σταθεροί συντελεστές για κάθε ισχύ του Χ. Έτσι, μια κυβική συνάρτηση έχει ν = 3 και είναι απλώς:
f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d
Πού σε αυτήν την περίπτωση, ρε είναι η σταθερά. Σε γενικές γραμμές, όταν πρέπει να λύσετε μια κυβική εξίσωση, θα σας παρουσιαστεί με τη μορφή:
ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0
Κάθε λύση για Χ ονομάζεται «ρίζα» της εξίσωσης. Οι κυβικές εξισώσεις έχουν είτε μία πραγματική ρίζα είτε τρεις, αν και μπορεί να επαναληφθούν, αλλά υπάρχει πάντα τουλάχιστον μία λύση.
Ο τύπος εξίσωσης ορίζεται από την υψηλότερη ισχύ, οπότε στο παραπάνω παράδειγμα, δεν θα ήταν κυβική εξίσωση εάν α = 0, γιατί θα ήταν ο υψηλότερος όρος ισχύος bx2 και θα ήταν μια τετραγωνική εξίσωση. Αυτό σημαίνει ότι τα ακόλουθα είναι όλες οι κυβικές εξισώσεις:
2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0
Επίλυση με τη χρήση του θεωρητικού παράγοντα και της συνθετικής διαίρεσης
Ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης μιας κυβικής εξίσωσης περιλαμβάνει λίγο εικασία και έναν αλγοριθμικό τύπο διαδικασίας που ονομάζεται συνθετική διαίρεση. Η αρχή, ωστόσο, είναι βασικά η ίδια με τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος για λύσεις κυβικής εξίσωσης. Προσπαθήστε να βρείτε ποια από τις ρίζες είναι μαντέψτε. Εάν έχετε μια εξίσωση όπου ο πρώτος συντελεστής, ένα, ισούται με 1, τότε είναι λίγο πιο εύκολο να μαντέψετε μια από τις ρίζες, επειδή είναι πάντα παράγοντες του σταθερού όρου που αντιπροσωπεύεται παραπάνω από ρε.
Έτσι, εξετάζοντας την ακόλουθη εξίσωση, για παράδειγμα:
x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0
Πρέπει να μαντέψετε μία από τις τιμές για Χ, αλλά από τότε ένα = 1 σε αυτήν την περίπτωση γνωρίζετε ότι ανεξάρτητα από την τιμή, πρέπει να είναι συντελεστής 24. Ο πρώτος τέτοιος παράγοντας είναι 1, αλλά αυτό θα άφηνε:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Το οποίο δεν είναι μηδέν και το −1 θα άφηνε:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Και πάλι δεν είναι μηδέν. Επόμενο, Χ = 2 θα έδινε:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Μια άλλη αποτυχία. Προσπαθεί Χ = −2 δίνει:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Αυτό σημαίνει Χ = −2 είναι μια ρίζα της κυβικής εξίσωσης. Αυτό δείχνει τα οφέλη και τα μειονεκτήματα της μεθόδου δοκιμής και σφάλματος: Μπορείτε να λάβετε την απάντηση χωρίς πολλά σκέφτηκε, αλλά είναι χρονοβόρο (ειδικά εάν πρέπει να πάτε σε υψηλότερους παράγοντες πριν βρείτε την ρίζα). Ευτυχώς, όταν βρείτε μια ρίζα, μπορείτε να λύσετε εύκολα την υπόλοιπη εξίσωση.
Το κλειδί ενσωματώνει το θεώρημα του παράγοντα. Αυτό δηλώνει ότι εάν Χ = s είναι μια λύση, τότε (Χ – μικρό) είναι ένας παράγοντας που μπορεί να βγει από την εξίσωση. Για αυτήν την κατάσταση, μικρό = −2, και έτσι (Χ + 2) είναι ένας παράγοντας που μπορούμε να βγούμε για να φύγουμε:
(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0
Οι όροι στη δεύτερη ομάδα αγκυλών έχουν τη μορφή τετραγωνικής εξίσωσης, οπότε αν βρείτε τις κατάλληλες τιμές για ένα και σι, η εξίσωση μπορεί να λυθεί.
Αυτό μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. Αρχικά, γράψτε τους συντελεστές της αρχικής εξίσωσης στην επάνω σειρά ενός πίνακα, με μια διαχωριστική γραμμή και στη συνέχεια τη γνωστή ρίζα στα δεξιά:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}
Αφήστε μια εφεδρική σειρά και, στη συνέχεια, προσθέστε μια οριζόντια γραμμή κάτω από αυτήν. Αρχικά, πάρτε τον πρώτο αριθμό (1 σε αυτήν την περίπτωση) μέχρι τη σειρά κάτω από την οριζόντια γραμμή σας
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & \ \ \ hline 1 & & & & \ end {πίνακας }
Τώρα πολλαπλασιάστε τον αριθμό που μόλις κατεβάσατε από τη γνωστή ρίζα. Σε αυτήν την περίπτωση, 1 × −2 = −2, και αυτό γράφεται κάτω από τον επόμενο αριθμό στη λίστα, ως εξής:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {πίνακας}
Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς στη δεύτερη στήλη και τοποθετήστε το αποτέλεσμα κάτω από την οριζόντια γραμμή:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ τέλος {πίνακας}
Τώρα επαναλάβετε τη διαδικασία που μόλις περάσατε με τον νέο αριθμό κάτω από την οριζόντια γραμμή: Πολλαπλασιάστε με το root, βάλτε την απάντηση στον κενό χώρο στην επόμενη στήλη και, στη συνέχεια, προσθέστε τη στήλη για να λάβετε έναν νέο αριθμό στο κάτω σειρά. Αυτό αφήνει:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {πίνακας}
Και μετά περάστε τη διαδικασία για τελευταία φορά.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {πίνακας}
Το γεγονός ότι η τελευταία απάντηση είναι μηδέν σας λέει ότι έχετε μια έγκυρη ρίζα, οπότε αν αυτό δεν είναι μηδέν, τότε κάνατε λάθος κάπου.
Τώρα, η κάτω σειρά σας λέει τους παράγοντες των τριών όρων στο δεύτερο σύνολο αγκυλών, ώστε να μπορείτε να γράψετε:
(x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Και έτσι:
(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Αυτό είναι το πιο σημαντικό στάδιο της λύσης και μπορείτε να ολοκληρώσετε από αυτό το σημείο και μετά με πολλούς τρόπους.
Factoring Κυβικά πολυώνυμα
Μόλις αφαιρέσετε έναν παράγοντα, μπορείτε να βρείτε μια λύση χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση. Από το παραπάνω βήμα, αυτό είναι βασικά το ίδιο πρόβλημα με τη δημιουργία τετραγωνικής εξίσωσης, η οποία μπορεί να είναι δύσκολη σε ορισμένες περιπτώσεις. Ωστόσο, για την έκφραση:
(x ^ 2 - 7x + 12)
Αν θυμάστε ότι πρέπει να προσθέσετε τους δύο αριθμούς που τοποθετείτε στις αγκύλες για να δώσετε τον δεύτερο συντελεστή (7) και να πολλαπλασιάσετε για να δώσετε τον τρίτο (12), είναι αρκετά εύκολο να το δείτε σε αυτήν την περίπτωση:
(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)
Μπορείτε να το πολλαπλασιάσετε για να το ελέγξετε, αν θέλετε. Μην αποθαρρύνετε εάν δεν μπορείτε να δείτε την παραγοντοποίηση αμέσως. χρειάζεται λίγη πρακτική. Αυτό αφήνει την αρχική εξίσωση ως:
(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0
Στην οποία μπορείτε να δείτε αμέσως έχει λύσεις Χ = −2, 3 και 4 (όλοι είναι συντελεστές 24, η αρχική σταθερά). Θεωρητικά, είναι επίσης δυνατό να δούμε ολόκληρη την παραγοντοποίηση ξεκινώντας από την αρχική έκδοση της εξίσωσης, αλλά αυτό είναι πολύ πιο δύσκολο, οπότε είναι καλύτερο να βρείτε μια λύση από τη δοκιμή και το σφάλμα και να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω προσέγγιση πριν προσπαθήσετε να εντοπίσετε ένα παραγοντοποίηση.
Αν δυσκολεύεστε να δείτε την παραγοντοποίηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο τετραγωνικής εξίσωσης:
x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ πάνω {1pt} 2a}
Για να βρείτε τις υπόλοιπες λύσεις.
Χρησιμοποιώντας τον κυβικό τύπο
Αν και είναι πολύ μεγαλύτερο και λιγότερο απλό να αντιμετωπιστεί, υπάρχει ένας απλός επίλυσης κυβικών εξισώσεων με τη μορφή του κυβικού τύπου. Αυτό είναι σαν τον τύπο τετραγωνικής εξίσωσης στο ότι εισάγετε τις τιμές σας ένα, σι, ντο και ρε για να βρεις μια λύση, αλλά είναι πολύ περισσότερο.
Αναφέρει ότι:
x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + σελ
όπου
p = {−b \ πάνω {1pt} 3α}
q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ πάνω {1pt} 6a ^ 2}
και
r = {c \ πάνω {1pt} 3α}
Η χρήση αυτού του τύπου είναι χρονοβόρα, αλλά εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος για λύσεις κυβικής εξίσωσης και στη συνέχεια τον τετραγωνικό τύπο, αυτό λειτουργεί όταν τα ξεπεράσετε όλα.