Λίγα πράγματα χτυπούν τον φόβο στον αρχικό μαθητή της άλγεβρας σαν να βλέπουν εκθέτες - εκφράσεις όπωςγ2, Χ3 ή ακόμα και το τρομακτικόγΧ- αναδυθείτε σε εξισώσεις. Για να επιλύσετε την εξίσωση, πρέπει να κάνετε τους εν λόγω εκθέτες να φύγουν. Αλλά στην πραγματικότητα, αυτή η διαδικασία δεν είναι τόσο δύσκολη όταν μάθετε μια σειρά απλών στρατηγικών, οι περισσότερες από τις οποίες βασίζονται στις βασικές αριθμητικές πράξεις που χρησιμοποιείτε εδώ και χρόνια.
Απλοποίηση και συνδυασμός όρων όρου
Μερικές φορές, αν είστε τυχεροί, μπορεί να έχετε εκθετικούς όρους σε μια εξίσωση που ακυρώνουν ο ένας τον άλλον. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη εξίσωση:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2 (x ^ 2 + 2)
Με έντονο μάτι και λίγη πρακτική, μπορεί να παρατηρήσετε ότι οι εκθετικοί όροι ακυρώνουν ο ένας τον άλλον, έτσι:
Μόλις απλοποιήσετε τη δεξιά πλευρά του δείγματος εξίσωσης, θα δείτε ότι έχετε πανομοιότυπους εκθετικούς όρους και στις δύο πλευρές του σημείου ίσων:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2x ^ 2 + 4
Αφαίρεση 2Χ2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Επειδή εκτελέσατε την ίδια λειτουργία και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, δεν έχετε αλλάξει την αξία της. Αλλά αφαιρέσατε αποτελεσματικά τον εκθέτη, αφήνοντάς σας με:
y - 5 = 4
Εάν θέλετε, μπορείτε να ολοκληρώσετε την επίλυση της εξίσωσης γιαγπροσθέτοντας 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, δίνοντάς σας:
y = 9
Συχνά τα προβλήματα δεν θα είναι τόσο απλά, αλλά εξακολουθεί να είναι μια ευκαιρία που αξίζει να προσέξετε.
Αναζητήστε ευκαιρίες για παράγοντα
Με τον χρόνο, την πρακτική και πολλά μαθήματα μαθηματικών, θα συλλέξετε τύπους για την παράθεση ορισμένων τύπων πολυωνύμων. Μοιάζει πολύ με τη συλλογή εργαλείων που διατηρείτε σε μια εργαλειοθήκη έως ότου τα χρειάζεστε. Το κόλπο είναι να μάθουμε να εντοπίζουμε ποια πολυώνυμα μπορούν εύκολα να ληφθούν υπόψη. Ακολουθούν ορισμένοι από τους πιο συνηθισμένους τύπους που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, με παραδείγματα σχετικά με τον τρόπο εφαρμογής τους:
Εάν η εξίσωση σας περιέχει δύο τετράγωνους αριθμούς με ένα σύμβολο μείον μεταξύ τους - για παράδειγμα,Χ2 − 42 - μπορείτε να τα παραγάγετε χρησιμοποιώντας τον τύποένα2 − σι2 = (α + β) (α - β). Εάν εφαρμόσετε τον τύπο στο παράδειγμα, το πολυώνυμοΧ2 − 42 παράγοντες για (Χ + 4)(Χ − 4).
Το κόλπο εδώ είναι να μάθεις να αναγνωρίζεις τετράγωνους αριθμούς ακόμα κι αν δεν γράφονται ως εκθέτες. Για παράδειγμα, το παράδειγμα τουΧ2 − 42 είναι πιο πιθανό να γραφτεί ωςΧ2 − 16.
Εάν η εξίσωση σας περιέχει δύο κυβισμένους αριθμούς που προστίθενται μαζί, μπορείτε να τους παραγάγετε χρησιμοποιώντας τον τύπο
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Εξετάστε το παράδειγμα τουγ3 + 23, το οποίο είναι πιο πιθανό να δείτε γραμμένο ωςγ3 + 8. Όταν αντικαθιστάτεγκαι 2 στον τύπο γιαένακαισιαντίστοιχα, έχετε:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Προφανώς ο εκθέτης δεν έχει τελειώσει εντελώς, αλλά μερικές φορές αυτός ο τύπος φόρμουλας είναι ένα χρήσιμο, ενδιάμεσο βήμα για να το ξεφορτωθεί. Για παράδειγμα, η συνεκτίμηση του αριθμητή ενός κλάσματος μπορεί να δημιουργήσει όρους που μπορείτε στη συνέχεια να ακυρώσετε με όρους από τον παρονομαστή.
Εάν η εξίσωση σας περιέχει δύο κυβισμένους αριθμούς με έναναφαιρείταιαπό τον άλλο, μπορείτε να τους παραγάγετε χρησιμοποιώντας έναν τύπο πολύ παρόμοιο με αυτόν που φαίνεται στο προηγούμενο παράδειγμα. Στην πραγματικότητα, η θέση του σημείου μείον είναι η μόνη διαφορά μεταξύ τους, καθώς ο τύπος για τη διαφορά των κύβων είναι:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Εξετάστε το παράδειγμα τουΧ3 − 53, το οποίο πιθανότατα θα γραφτεί ωςΧ3 − 125. ΑντικατάστασηΧΓιαένακαι 5 γιασι, παίρνετε:
(x - 5) (x ^ 2 + 5x + 5 ^ 2)
Όπως και πριν, αν και αυτό δεν εξαλείφει πλήρως τον εκθέτη, μπορεί να είναι ένα χρήσιμο ενδιάμεσο βήμα στην πορεία.
Απομονώστε και εφαρμόστε μια ριζοσπαστική
Εάν κανένα από τα παραπάνω κόλπα δεν λειτουργεί και έχετε μόνο έναν όρο που περιέχει έναν εκθέτη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πιο κοινή μέθοδο για "απαλλαγή του "εκθέτη: Απομονώστε τον εκθετικό όρο στη μία πλευρά της εξίσωσης και, στη συνέχεια, εφαρμόστε την κατάλληλη ρίζα και στις δύο πλευρές του εξίσωση. Εξετάστε το παράδειγμα του
z ^ 3 - 25 = 2
Απομονώστε τον εκθετικό όρο προσθέτοντας 25 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό σας δίνει:
z ^ 3 = 27
Το ευρετήριο της ρίζας που εφαρμόζετε - δηλαδή, ο μικρός αριθμός υπεργράφου πριν από το ριζικό σύμβολο - πρέπει να είναι ίδιος με τον εκθέτη που προσπαθείτε να καταργήσετε. Επομένως, επειδή ο εκθετικός όρος στο παράδειγμα είναι ένας κύβος ή τρίτη δύναμη, πρέπει να εφαρμόσετε μια ρίζα κύβου ή μια τρίτη ρίζα για να την αφαιρέσετε. Αυτό σας δίνει:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Το οποίο με τη σειρά του απλοποιεί:
z = 3