Τι είναι οι λογάριθμοι; Κατ 'αρχάς, η ίδια η λέξη είναι λίγο αδέξια στην αρχή. Όταν οι μαθητές παρουσιάζονται για πρώτη φορά με την έννοια αυτών των "αρχείων καταγραφής", συχνά αποτελεί μέρος της αρχικής έκθεσής τους στον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνται οι εκθέτες ή οι δυνάμεις. Ένας λογάριθμος είναι απλά ένας εκθέτης που παρουσιάζεται ως κάτι διαφορετικό από ένα υπεργράφημα.
Μόλις οι μαθητές έχουν δει μερικά παραδείγματα λογαριθμικών εκφράσεων, αυτό που τείνει να τους ξεπεράσει είναι η χρήση μιας βάσης διαφορετικής από 10 στην έκφραση καταγραφής, η οποία είναι η προεπιλεγμένη τιμή.
Για παράδειγμα, εάν σας ζητηθεί να λύσετε την έκφραση y = log21.000, δεν υπάρχει εύκολος διαισθητικός τρόπος να προσεγγίσουμε το πρόβλημα.
Ταραγμένος? Διαβάστε παρακάτω και οι τυχόν εκφράσεις καταγραφής "ισχύος" με μη τυπικές βάσεις θα σας εξαφανιστούν.
Επεξήγηση λογαριθμικών εκφράσεων
Ας πούμε ότι σας ζητείται να λύσετε την έκφραση y = log101000. Πρώτον, πρέπει να προσδιορίσετε τι συμβαίνει στο πρόβλημα. Όταν παίρνετε μια τιμή για το y, πρέπει να είναι εκθέτης.
Για να είμαστε ακριβείς, είναι ο εκθέτης (ή δύναμη) στην οποία πρέπει να ανεβεί η βάση (που δίνεται ως συνδρομητής και θεωρείται 10 όταν δεν δίνεται ρητά) για να πάρει το διαφωνία του αρχείου καταγραφής, που είναι ο μόνος αριθμός που βλέπετε σε τυπική μορφή στην αρχή αυτών των προβλημάτων.
Δηλαδή, η παραπάνω έκφραση ισοδυναμεί με 10ε = 1,000. Μπορεί να αναγνωρίσετε εκ των υστέρων ότι πρέπει να είναι ίσο με 3, αλλά αν όχι, μπορείτε να βασιστείτε στον υπολογιστή σας για να λάβετε τη σωστή απάντηση.
Γιατί να χρησιμοποιήσω λογάριθμους, ούτως ή άλλως;
Γιατί είναι χρήσιμο να δούμε τη σχέση μεταξύ ενός αριθμού και του ημερολογίου ενός δεύτερου αριθμού αντί να εξετάζουμε και να γράφουμε τη σχέση ως έχει;
Η απάντηση έγκειται στο γεγονός ότι όταν το y ποικίλλει με κάποια θετική ισχύ του x, αυξάνεται πιο γρήγορα από ό, τι το x. καθώς αυτή η ισχύς γίνεται ελαφρώς μεγαλύτερη, το αυξανόμενο κενό μεταξύ x και y με αυξανόμενες τιμές x γίνεται ακραίο. Εξαιτίας αυτού, είναι συνηθισμένο σε τέτοιες περιπτώσεις η γραφική παράσταση y έναντι logσιx ή έναν σταθερό πολλαπλασιαστή του logσιΧ.
- Ένα παράδειγμα αυτού είναι η κλίμακα Ρίχτερ στη γεωλογική επιστήμη, που χρησιμοποιείται για τον ποσοτικό προσδιορισμό της ισχύος των σεισμών. Κάθε ακέραιος αριθμός αυξάνει την κλίμακα αντιστοιχεί σε δεκαπλάσια αύξηση του μεγέθους καθώς και 31 φορές αύξηση της ενέργειας που απελευθερώνεται. Εξαιτίας αυτού, ένας σεισμός μεγέθους 7,7 απελευθερώνει 31 φορές την ενέργεια ενός σεισμού μεγέθους 6,7 και (31 × 31 = 961) φορές την ενέργεια ενός σεισμού μεγέθους 5,7.
Παραδείγματα λογαριθμικών προβλημάτων
Δίνεται y = log10100.000, τι είναι το y;
y είναι ο εκθέτης στον οποίο 10 πρέπει να αυξηθούν για να πάρουμε την τιμή 100.000. Αυτό είναι 5, όπως μπορεί να μπορείτε να κάνετε στο μυαλό σας εάν το γνωρίζετε 105 = 100,000.
Δίνεται y = log1050.000, τι είναι το y;
y είναι ο εκθέτης στον οποίο 10 πρέπει να αυξηθούν για να πάρουμε την τιμή 50.000. Σαφώς, αυτή είναι μια τιμή ακέραιου από το 104 = 10.000 και 105 = 100,000. Η αριθμομηχανή μπορεί να δώσει την απάντηση: 4.698. (Αυτή είναι μια καλή υπενθύμιση ότι οι εκθέτες δεν πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί.)
Log2x σε δράση
Όταν εξερευνάτε προβλήματα καταγραφής με βάσεις εκτός από 10, καμία από τις παραπάνω αρχές δεν αλλάζει. Τα μαθηματικά μπορεί να φαίνονται λίγο πιο περίεργα, οπότε προσέξτε να μην συγχέετε μικρές βάσεις όπως το 2 με ό, τι είναι το αρχείο καταγραφής, καθώς αυτοί οι αριθμοί είναι συχνά και στα χαμηλά μονοψήφια.
Παράδειγμα: Τι είναι το αρχείο καταγραφής24,000?
Η απάντηση ολοκληρώνει την πρόταση "4.000 είναι το αποτέλεσμα 2 να ανεβαίνουν στη δύναμη ..." Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι 11.965.
- Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα διαδικτυακό εργαλείο όπως αυτό στους πόρους αντί για την αριθμομηχανή σας για να επιλύσετε το αρχείο καταγραφής2 προβλήματα.