Οι εξισώσεις απόλυτης αξίας μπορεί να είναι λίγο εκφοβιστικές στην αρχή, αλλά αν συνεχίσετε, σύντομα θα τις λύσετε εύκολα. Όταν προσπαθείτε να επιλύσετε εξισώσεις απόλυτης τιμής, βοηθά να έχετε κατά νου την έννοια της απόλυτης αξίας.
Ορισμός της απόλυτης αξίας
οαπόλυτη τιμήενός αριθμούΧ, γραπτή |Χ|, είναι η απόσταση από το μηδέν σε μια γραμμή αριθμών. Για παράδειγμα, το −3 απέχει 3 μονάδες από το μηδέν, οπότε η απόλυτη τιμή του −3 είναι 3. Το γράφουμε ως εξής: | −3 | = 3.
Ένας άλλος τρόπος να το σκεφτείτε είναι ότιαπόλυτη τιμήείναι η θετική "έκδοση" ενός αριθμού. Έτσι, η απόλυτη τιμή του −3 είναι 3, ενώ η απόλυτη τιμή του 9, η οποία είναι ήδη θετική, είναι 9.
Αλγεβρικά, μπορούμε να γράψουμε ένατύπος για απόλυτη τιμήμοιάζει με αυτό:
| x | = \ έναρξη {case} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {περιπτώσεις}
Πάρτε ένα παράδειγμα πουΧ= 3. Από το 3 ≥ 0, η απόλυτη τιμή του 3 είναι 3 (σε απόλυτη συμβολική τιμή, δηλαδή: | 3 | = 3).
Τώρα τι γίνεται ανΧ= −3? Είναι μικρότερο από το μηδέν, οπότε | −3 | = - (−3). Το αντίθετο ή "αρνητικό" του −3 είναι 3, έτσι | −3 | = 3.
Επίλυση εξισώσεων απόλυτης τιμής
Τώρα για κάποιες εξισώσεις απόλυτης τιμής. Τα γενικά βήματα για την επίλυση μιας εξίσωσης απόλυτης τιμής είναι:
Απομονώστε την έκφραση της απόλυτης τιμής.
Λύστε τη θετική «έκδοση» της εξίσωσης.
Λύστε την αρνητική "έκδοση" της εξίσωσης πολλαπλασιάζοντας την ποσότητα στην άλλη πλευρά του σημείου ίσων με −1.
Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω πρόβλημα για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα των βημάτων.
Παράδειγμα: Λύστε την εξίσωση γιαΧ:
| 3 + x | - 5 = 4
Θα πρέπει να λάβετε | 3 +Χ| από μόνη της στην αριστερή πλευρά του σημείου ίσον. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Λύστε γιαΧσαν να μην υπήρχε το απόλυτο σύμβολο αξίας!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Αυτό είναι εύκολο: Απλώς αφαιρέστε το 3 και από τις δύο πλευρές.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Έτσι, μια λύση στην εξίσωση είναι αυτήΧ = 6.
Ξεκινήστε ξανά στο | 3 +Χ| = 9. Η άλγεβρα στο προηγούμενο βήμα έδειξε ότιΧθα μπορούσε να είναι 6. Αλλά επειδή αυτή είναι μια απόλυτη εξίσωση αξίας, υπάρχει μια άλλη πιθανότητα να ληφθεί υπόψη. Στην παραπάνω εξίσωση, η απόλυτη τιμή του "κάτι" (3 +Χισούται με 9. Σίγουρα, η απόλυτη τιμή του θετικού 9 ισούται με 9, αλλά υπάρχει και μια άλλη επιλογή εδώ! Η απόλυτη τιμή −9 ισούται επίσης με 9. Έτσι το άγνωστο "κάτι" θα μπορούσε επίσης να ισούται με −9.
Με άλλα λόγια:
3 + x = -9
Ο γρήγορος τρόπος για να φτάσετε σε αυτήν τη δεύτερη έκδοση είναι να πολλαπλασιάσετε την ποσότητα στην άλλη πλευρά του ισούται με την απόλυτη τιμή έκφρασης (9, σε αυτήν την περίπτωση) με −1, και στη συνέχεια λύστε την εξίσωση από εκεί.
Ετσι:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Αφαιρέστε το 3 και από τις δύο πλευρές για να λάβετε:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Έτσι, οι δύο λύσεις είναι:Χ= 6 ήΧ = −12.
Και εκεί το έχετε! Αυτά τα είδη εξισώσεων ακολουθούν πρακτική, οπότε μην ανησυχείτε αν αγωνίζεστε πρώτα. Συνεχίστε και θα γίνει πιο εύκολο!