Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από όλους τους αριθμούς σε μια γραμμή αριθμών. Τα υποσύνολα μπορούν να περιλαμβάνουν οποιαδήποτε συλλογή αριθμών, αλλά τα στοιχεία ενός σημαντικού υποσυνόλου πρέπει τουλάχιστον να έχουν πολλά κοινά χαρακτηριστικά. Τα περισσότερα από αυτά τα υποσύνολα είναι χρήσιμα μόνο για συγκεκριμένους υπολογισμούς, αλλά υπάρχουν μερικά που έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες και που βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου λειτουργίας του συστήματος πραγματικού αριθμού.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Τα πιο σημαντικά υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνουν τους λογικούς και τους παράλογους αριθμούς. Το σύνολο των λογικών αριθμών μπορεί να χωριστεί σε περαιτέρω υποσύνολα, συμπεριλαμβανομένων των φυσικών αριθμών, των ολόκληρων αριθμών και των ακέραιων αριθμών. Άλλα υποσύνολα των πραγματικών αριθμών είναι οι ζυγοί και οι μονές, οι πρώτοι αριθμοί και οι τέλειοι αριθμοί. Συνολικά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός υποσύνολων των πραγματικών αριθμών.
Σετ πραγματικών αριθμών γενικά
Για κάθε σύνολο που περιέχει ποσότητα n στοιχείων, ο αριθμός των υποομάδων είναι 2ν. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει έναν άπειρο αριθμό στοιχείων, και επομένως το αντίστοιχο εκθετικό του 2 είναι επίσης άπειρο, δίνοντας έναν άπειρο αριθμό υποσύνολων.
Πολλά από αυτά τα υποσύνολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όταν εργάζεστε με το πραγματικό σύστημα αριθμών και κατά τη διάρκεια υπολογισμών, αλλά είναι χρήσιμα μόνο για συγκεκριμένους σκοπούς. Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό της τιμής αρκετών πιτσών για φίλους, μπορεί να ενδιαφέρει μόνο το υποσύνολο αριθμών από δέκα έως εκατό. Ένα εξωτερικό θερμόμετρο μπορεί να εμφανίζει μόνο το υποσύνολο θερμοκρασιών από μείον 40 έως συν 120 βαθμούς Φαρενάιτ. Η εργασία με υποσύνολα όπως αυτά είναι χρήσιμη, διότι οποιοδήποτε αποτέλεσμα εκτός του αναμενόμενου υποσυνόλου είναι πιθανώς λάθος.
Τα πιο γενικά υποσύνολα των πραγματικών αριθμών ταξινομούν τους αριθμούς σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά τους, και αυτά τα υποσύνολα έχουν μοναδικές ιδιότητες ως αποτέλεσμα. Το πραγματικό σύστημα αριθμών εξελίχθηκε από υποσύνολα όπως οι φυσικοί αριθμοί, που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση, και τέτοια υποσύνολα αποτελούν τη βάση για την κατανόηση της άλγεβρας.
Υποσύνολα που αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους λογικούς και τους παράλογους αριθμούς. Οι λογικοί αριθμοί είναι ακέραιοι και αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα. Όλοι οι άλλοι πραγματικοί αριθμοί είναι παράλογοι και περιλαμβάνουν αριθμούς όπως η τετραγωνική ρίζα του 2 και ο αριθμός pi. Επειδή οι παράλογοι αριθμοί ορίζονται ως ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, όλοι οι παράλογοι αριθμοί πρέπει να είναι πραγματικοί αριθμοί.
Οι λογικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε επιπλέον υποσύνολα. Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιήθηκαν ιστορικά στην καταμέτρηση και είναι η ακολουθία 1, 2, 3 κ.λπ. Όλοι οι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί συν μηδέν. Οι ακέραιοι είναι οι ακέραιοι αριθμοί συν οι αρνητικοί φυσικοί αριθμοί.
Άλλα υποσύνολα των λογικών αριθμών περιλαμβάνουν έννοιες όπως ζυγός, μονός, πρωταρχικός και τέλειος αριθμός. Οι ζυγοί αριθμοί είναι ακέραιοι που έχουν 2 ως παράγοντα. οι περίεργοι αριθμοί είναι όλοι οι άλλοι ακέραιοι αριθμοί. Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι ακέραιοι που έχουν μόνο τους εαυτούς τους και 1 ως παράγοντες. Οι τέλειοι αριθμοί είναι ακέραιοι των οποίων οι παράγοντες προσθέτουν τον αριθμό. Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι 6 και οι συντελεστές του, 1, 2 και 3 προσθέτουν έως και 6.
Γενικά, οι υπολογισμοί που πραγματοποιούνται με πραγματικούς αριθμούς δίνουν πραγματικές απαντήσεις σε αριθμούς, αλλά υπάρχει μια εξαίρεση. Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται, δίνει αρνητικό πραγματικό αριθμό ως απάντηση. Ως αποτέλεσμα, η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός. Οι τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών πραγματικών αριθμών ονομάζονται φανταστικοί αριθμοί και είναι τα στοιχεία ενός συνόλου αριθμών εντελώς διαφορετικών από τους πραγματικούς αριθμούς.
Η μελέτη των υποομάδων των πραγματικών αριθμών είναι μέρος της θεωρίας αριθμών και ταξινομεί τους αριθμούς για να διευκολύνει την κατανόηση του τρόπου λειτουργίας της θεωρίας αριθμών. Το να εξοικειωθείτε με τα υποσύνολα πραγματικού αριθμού και τις ιδιότητές τους είναι μια καλή βάση για περαιτέρω μαθηματικές μελέτες.