Τύποι εξισώσεων άλγεβρας

Υπάρχουν πέντε βασικοί τύποι αλγεβρικών εξισώσεων, που διακρίνονται από τη θέση των μεταβλητών, τους τύπους χειριστών και συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται και τη συμπεριφορά των γραφημάτων τους. Κάθε τύπος εξίσωσης έχει διαφορετική αναμενόμενη είσοδο και παράγει έξοδο με διαφορετική ερμηνεία. Οι διαφορές και οι ομοιότητες μεταξύ των πέντε τύπων αλγεβρικών εξισώσεων και των χρήσεών τους καταδεικνύουν την ποικιλία και τη δύναμη των αλγεβρικών λειτουργιών.

Τα Monomials και τα πολυώνυμα είναι εξισώσεις που αποτελούνται από μεταβλητούς όρους με εκθέτες ακέραιου αριθμού. Τα πολυώνυμα ταξινομούνται βάσει του αριθμού των όρων στην έκφραση: Τα μονονομικά έχουν έναν όρο, τα διωνύμια έχουν δύο όρους, τα τριανομικά έχουν τρεις όρους. Κάθε έκφραση με περισσότερους από έναν όρους ονομάζεται πολυώνυμο. Τα πολυώνυμα ταξινομούνται επίσης κατά βαθμό, που είναι ο αριθμός του υψηλότερου εκθέτη στην έκφραση. Τα πολυώνυμα με βαθμούς ένα, δύο και τρία ονομάζονται γραμμικά, τετραγωνικά και κυβικά πολυώνυμα, αντίστοιχα. Η εξίσωση x ^ 2 - x - 3 ονομάζεται τετραγωνικό τρινομικό. Οι τετραγωνικές εξισώσεις συναντώνται συνήθως στην άλγεβρα I και II. Το γράφημα τους, γνωστό ως παραβολή, περιγράφει το τόξο που εντοπίζεται από ένα βλήμα που εκτοξεύεται στον αέρα.

Οι εκθετικές εξισώσεις διακρίνονται από τα πολυώνυμα στο ότι έχουν μεταβλητούς όρους στους εκθέτες. Ένα παράδειγμα εκθετικής εξίσωσης είναι y = 3 ^ (x - 4) + 6. Οι εκθετικές συναρτήσεις ταξινομούνται ως εκθετική ανάπτυξη εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει θετικό συντελεστή και εκθετική διάσπαση εάν έχει αρνητικό συντελεστή. Οι εκθετικές εξισώσεις ανάπτυξης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την εξάπλωση πληθυσμών και ασθενειών, καθώς και οικονομικές έννοιες όπως σύνθετος τόκος (ο τύπος για το σύνθετο επιτόκιο είναι Pe ^ (rt), όπου το P είναι το κύριο, το r είναι το επιτόκιο και το t είναι το ποσό χρονικός). Οι εκθετικές εξισώσεις αποσύνθεσης περιγράφουν φαινόμενα όπως η ραδιενεργή αποσύνθεση.

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις είναι το αντίστροφο των εκθετικών συναρτήσεων. Για την εξίσωση y = 2 ^ x, η αντίστροφη συνάρτηση είναι y = log2 x. Η βάση καταγραφής b ενός αριθμού x είναι ίση με τον εκθέτη που πρέπει να ανεβάσετε b για να λάβετε τον αριθμό x. Για παράδειγμα, το log2 of 16 είναι 4 επειδή η 2 έως 4η ισχύς είναι 16. Ο υπερβατικός αριθμός "e" χρησιμοποιείται πιο συχνά ως λογαριθμική βάση. η βάση λογάριθμου e ονομάζεται συχνά ο φυσικός λογάριθμος. Οι λογαριθμικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται σε πολλούς τύπους κλιμάκων έντασης, όπως η κλίμακα Ρίχτερ για σεισμούς και η κλίμακα ντεσιμπέλ για ένταση ήχου. Η κλίμακα ντεσιμπέλ χρησιμοποιεί μια βάση log 10, που σημαίνει μια αύξηση ενός ντεσιμπέλ αντιστοιχεί σε μια δεκαπλάσια αύξηση της έντασης του ήχου.

Οι ορθολογικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές εξισώσεις της μορφής p (x) / q (x), όπου τα p (x) και q (x) είναι και τα δύο πολυώνυμα. Ένα παράδειγμα ορθολογικής εξίσωσης είναι (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). Οι ορθολογικές εξισώσεις είναι αξιοσημείωτες για το ότι έχουν ασυμπτώματα, οι οποίες είναι τιμές y και x που πλησιάζει το γράφημα της εξίσωσης αλλά δεν φτάνει ποτέ. Ένα κάθετο ασυμπτωματικό μιας ορθολογικής εξίσωσης είναι μια τιμή x στην οποία το γράφημα δεν φτάνει ποτέ - η τιμή y πηγαίνει στο θετικό ή το αρνητικό άπειρο καθώς η τιμή του x πλησιάζει το ασυμπτωματικό. Ένα οριζόντιο ασυμπτωματικό είναι μια τιμή y που πλησιάζει το γράφημα καθώς το x πηγαίνει στο θετικό ή αρνητικό άπειρο.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις περιέχουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις sin, cos, tan, sec, csc και βρεφική κούνια. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιγράφουν την αναλογία μεταξύ των δύο πλευρών ενός δεξιού τριγώνου, λαμβάνοντας το μέτρο γωνίας ως είσοδο ή ανεξάρτητη μεταβλητή και την αναλογία ως έξοδο ή εξαρτώμενη μεταβλητή. Για παράδειγμα, το y = sin x περιγράφει την αναλογία της αντίθετης πλευράς ενός δεξιού τριγώνου προς την υποτεθείσα για γωνία μέτρου x. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι διακριτές στο ότι είναι περιοδικές, δηλαδή το γράφημα επαναλαμβάνεται μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Το γράφημα ενός τυπικού ημιτονοειδούς κύματος έχει περίοδο 360 μοιρών.