Κάθε μαθητής άλγεβρας σε υψηλότερα επίπεδα πρέπει να μάθει να επιλύει τετραγωνικές εξισώσεις. Πρόκειται για έναν τύπο πολυωνυμικής εξίσωσης που περιλαμβάνει ισχύ 2 αλλά καμία υψηλότερη και έχουν τη γενική μορφή:τσεκούρι2 + bx + ντο= 0. Μπορείτε να τα λύσετε χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής εξίσωσης, παραγοντοποιώντας ή συμπληρώνοντας το τετράγωνο.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Πρώτη ματιά για παραγοντοποίηση για την επίλυση της εξίσωσης. Εάν δεν υπάρχει ένα, αλλά τοσιο συντελεστής διαιρείται με 2, συμπληρώστε το τετράγωνο. Εάν καμία από τις δύο προσεγγίσεις δεν είναι εύκολη, χρησιμοποιήστε τον τύπο τετραγωνικής εξίσωσης.
Χρήση παραγοντοποίησης για επίλυση της εξίσωσης
Η παραγοντοποίηση εκμεταλλεύεται το γεγονός ότι η δεξιά πλευρά της τυπικής τετραγωνικής εξίσωσης ισούται με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αν μπορείτε να χωρίσετε την εξίσωση σε δύο όρους σε αγκύλες πολλαπλασιασμένους ο ένας με τον άλλον, μπορείτε να επεξεργαστείτε τις λύσεις σκεπτόμενος τι θα έκανε κάθε βραχίονα ίσο με μηδέν. Για να δώσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Συγκρίνετε αυτό με την τυπική φόρμα:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Στο παράδειγμα,ένα = 1, σι= 6 καιντο= 9. Η πρόκληση της παραγοντοποίησης είναι η εύρεση δύο αριθμών που προσθέτουν μαζί για να δώσουν τον αριθμό στοσισημείο και πολλαπλασιάστε μαζί για να λάβετε τον αριθμό στη θέση γιαντο.
Έτσι, αντιπροσωπεύοντας τους αριθμούς απόρεκαιμιψάχνετε αριθμούς που ικανοποιούν:
d + e = β
Ή σε αυτήν την περίπτωση, μεσι = 6:
d + e = 6
Και
d × e = γ
Ή σε αυτήν την περίπτωση, μεντο = 9:
d × e = 9
Εστιάστε στην εύρεση αριθμών που είναι παράγοντες τουντοκαι, στη συνέχεια, προσθέστε τα μαζί για να δείτε αν είναι ίσεςσι. Όταν έχετε τους αριθμούς σας, τοποθετήστε τους στην ακόλουθη μορφή:
(x + d) (x + e)
Στο παραπάνω παράδειγμα, και τα δύορεκαιμιείναι 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Εάν πολλαπλασιάσετε τις αγκύλες, θα καταλήξετε ξανά στην αρχική έκφραση και αυτή είναι καλή πρακτική για να ελέγξετε την παραγοντοποίησή σας. Μπορείτε να εκτελέσετε αυτήν τη διαδικασία (πολλαπλασιάζοντας το πρώτο, το εσωτερικό, το εξωτερικό και στη συνέχεια τα τελευταία τμήματα των αγκυλών με τη σειρά - δείτε τους πόρους για περισσότερες λεπτομέρειες) για να το δείτε αντίστροφα:
\ start {aligned} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {στοίχιση}
Η παραγοντοποίηση εκτελείται αποτελεσματικά μέσω αυτής της διαδικασίας αντίστροφα, αλλά μπορεί να είναι δύσκολο να επιλυθεί το σωστός τρόπος για να συντελεστεί η τετραγωνική εξίσωση, και αυτή η μέθοδος δεν είναι ιδανική για κάθε τετραγωνική εξίσωση για αυτό λόγος. Συχνά πρέπει να μαντέψετε μια παραγοντοποίηση και στη συνέχεια να την ελέγξετε.
Το πρόβλημα είναι τώρα να κάνει οποιαδήποτε από τις εκφράσεις σε παρένθεση να ισούται με το μηδέν μέσω της τιμής επιλογής σαςΧ. Εάν ένα από τα δύο βραχίονες είναι μηδέν, ολόκληρη η εξίσωση είναι μηδέν και έχετε βρει μια λύση. Κοιτάξτε το τελευταίο στάδιο [(Χ + 3) (Χ+ 3) = 0] και θα δείτε ότι η μόνη φορά που οι αγκύλες βγαίνουν στο μηδέν είναι εάνΧ= −3. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ωστόσο, οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν δύο λύσεις.
Η παραγοντοποίηση είναι ακόμη πιο δύσκολη εάνέναδεν είναι ίσο με ένα, αλλά η εστίαση σε απλές περιπτώσεις είναι καλύτερη στην αρχή.
Ολοκλήρωση του τετραγώνου για επίλυση της εξίσωσης
Η ολοκλήρωση του τετραγώνου σάς βοηθά να επιλύσετε τετραγωνικές εξισώσεις που δεν μπορούν εύκολα να παραγοντοποιηθούν. Αυτή η μέθοδος μπορεί να λειτουργήσει για οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση, αλλά ορισμένες εξισώσεις ταιριάζουν περισσότερο από άλλες. Η προσέγγιση περιλαμβάνει τη δημιουργία της έκφρασης σε ένα τέλειο τετράγωνο και την επίλυση αυτού. Ένα γενικό τέλειο τετράγωνο επεκτείνεται έτσι:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση συμπληρώνοντας το τετράγωνο, πάρτε την έκφραση στη φόρμα στη δεξιά πλευρά των παραπάνω. Πρώτα διαιρέστε τον αριθμό στοσιθέση με 2 και στη συνέχεια τετράγωνο του αποτελέσματος. Έτσι για την εξίσωση:
x ^ 2 + 8x = 0
Ο συντελεστήςσι= 8, έτσισι÷ 2 = 4 και (σι ÷ 2)2 = 16.
Προσθέστε αυτό και στις δύο πλευρές για να λάβετε:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Σημειώστε ότι αυτή η φόρμα ταιριάζει με την τέλεια τετράγωνη φόρμα, μερε= 4, έτσι 2ρε= 8 καιρε2 = 16. Αυτό σημαίνει ότι:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Εισαγάγετε αυτό στην προηγούμενη εξίσωση για να λάβετε:
(x + 4) ^ 2 = 16
Τώρα λύστε την εξίσωση γιαΧ. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να λάβετε:
x + 4 = \ sqrt {16}
Αφαιρέστε το 4 και από τις δύο πλευρές για να λάβετε:
x = \ sqrt {16} - 4
Η ρίζα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική και η λήψη της αρνητικής ρίζας δίνει:
x = -4 - 4 = -8
Βρείτε την άλλη λύση με τη θετική ρίζα:
x = 4 - 4 = 0
Επομένως, η μόνη μη μηδενική λύση είναι −8. Ελέγξτε το με την αρχική έκφραση για επιβεβαίωση.
Χρήση του τετραγωνικού τύπου για επίλυση της εξίσωσης
Ο τύπος τετραγωνικής εξίσωσης φαίνεται πιο περίπλοκος από τις άλλες μεθόδους, αλλά είναι η πιο αξιόπιστη μέθοδος και μπορείτε να τη χρησιμοποιήσετε σε οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση. Η εξίσωση χρησιμοποιεί τα σύμβολα από την τυπική τετραγωνική εξίσωση:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Και δηλώνει ότι:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2α}
Εισαγάγετε τους κατάλληλους αριθμούς στις θέσεις τους και εργαστείτε μέσω του τύπου για επίλυση, θυμηθείτε να δοκιμάσετε τόσο την αφαίρεση όσο και την προσθήκη του όρου τετραγωνικής ρίζας και σημειώστε και τις δύο απαντήσεις. Για το ακόλουθο παράδειγμα:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Εχειςένα = 1, σι= 6 καιντο= 5. Έτσι, ο τύπος δίνει:
\ start {aligned} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ τέλος {στοίχιση}
Η λήψη του θετικού σημείου δίνει:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {στοίχιση}
Και η λήψη του αρνητικού σημείου δίνει:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ τέλος {στοίχιση}
Ποιες είναι οι δύο λύσεις για την εξίσωση.
Πώς να προσδιορίσετε την καλύτερη μέθοδο για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων
Αναζητήστε παραγοντοποίηση πριν δοκιμάσετε οτιδήποτε άλλο. Εάν μπορείτε να εντοπίσετε ένα, αυτός είναι ο γρηγορότερος και ευκολότερος τρόπος επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Θυμηθείτε ότι ψάχνετε για δύο αριθμούς που συνοψίζονται στοσισυντελεστής και πολλαπλασιάστε για να δώσετε τοντοσυντελεστής. Για αυτήν την εξίσωση:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Μπορείτε να εντοπίσετε ότι 2 + 3 = 5 και 2 × 3 = 6, έτσι:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
ΚαιΧ= −2 ήΧ = −3.
Εάν δεν μπορείτε να δείτε παραγοντοποίηση, ελέγξτε για να δείτε εάν τοσιο συντελεστής διαιρείται με 2 χωρίς να καταφεύγουμε σε κλάσματα. Εάν ναι, η ολοκλήρωση του τετραγώνου είναι πιθανώς ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης της εξίσωσης.
Εάν καμία από τις δύο μεθόδους δεν φαίνεται κατάλληλη, χρησιμοποιήστε τον τύπο. Αυτό μοιάζει με τη δυσκολότερη προσέγγιση, αλλά αν βρίσκεστε σε εξετάσεις ή πιέζεστε διαφορετικά για χρόνο, μπορεί να κάνει τη διαδικασία πολύ λιγότερο αγχωτική και πολύ πιο γρήγορη.