Η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ δύο μεταβλητών είναι ο στόχος για το μεγαλύτερο μέρος της επιστήμης. Εάν έχετε μια συγκεκριμένη επιστημονική ερώτηση στο μυαλό σας όπως: Τι συμβαίνει στην παγκόσμια θερμοκρασία εάν η ποσότητα του διοξειδίου του άνθρακα στο αυξάνεται η ατμόσφαιρα ή πώς διαφέρει η ένταση της βαρύτητας όταν απομακρύνεστε πιο μακριά από την πηγή ή εάν σας ενδιαφέρει περισσότερο αφηρημένη μαθηματική ρύθμιση, η εύρεση της διαφοράς μεταξύ άμεσων και αντίστροφων σχέσεων είναι απαραίτητη εάν θέλετε να τις περιγράψετε σχέσεις. Με λίγα λόγια, οι άμεσες σχέσεις αυξάνονται ή μειώνονται μαζί, αλλά οι αντίστροφες σχέσεις κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Σε μια άμεση σχέση, μια αύξηση σε μια ποσότητα οδηγεί σε αντίστοιχη μείωση στην άλλη. Αυτό έχει τον μαθηματικό τύπο του ε = κχ, όπου κ είναι μια σταθερά. Για έναν κύκλο, περιφέρεια = διάμετρος × ×, που είναι μια άμεση σχέση με το pi ως σταθερά. Η μεγαλύτερη διάμετρος σημαίνει μεγαλύτερη περιφέρεια.
Σε μια αντίστροφη σχέση, μια αύξηση σε μια ποσότητα οδηγεί σε αντίστοιχη μείωση στην άλλη. Μαθηματικά, αυτό εκφράζεται ως ε = κ/Χ. Για ένα ταξίδι, χρόνος ταξιδιού = απόσταση ÷ ταχύτητα, που είναι μια αντίστροφη σχέση με την απόσταση που διανύθηκε ως σταθερή. Ταχύτερο ταξίδι σημαίνει μικρότερο χρόνο ταξιδιού.
Το Ιστορικό: Πώς γίνεται ε Διαφορετικά με Χ?
Επιστήμονες και μαθηματικοί που ασχολούνται με άμεσες και αντίστροφες σχέσεις απαντούν στο γενικό ερώτημα, πώς γίνεται ε διαφέρουν με Χ? Εδώ, Χ και ε περιμένετε για δύο μεταβλητές που θα μπορούσαν να είναι βασικά οτιδήποτε. Για παράδειγμα, πώς το ύψος που αναπηδά μια μπάλα (ε) εξαρτάται από το πόσο ψηλά πέφτει από (Χ)? Κατά σύμβαση, Χ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και ε είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Έτσι, η αξία του ε εξαρτάται από την τιμή του Χ, όχι το αντίστροφο, και ο μαθηματικός έχει κάποιο έλεγχο Χ (για παράδειγμα, μπορεί να επιλέξει το ύψος από το οποίο θα πέσει η μπάλα). Όταν υπάρχει άμεση ή αντίστροφη σχέση, Χ και ε είναι ανάλογες μεταξύ τους κατά κάποιο τρόπο.
Άμεσες σχέσεις
Μια άμεση σχέση είναι ανάλογη με την έννοια ότι όταν αυξάνεται η μία μεταβλητή, το ίδιο ισχύει και για την άλλη. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα από την τελευταία ενότητα, όσο υψηλότερο από το οποίο ρίχνετε μια μπάλα, τόσο πιο ψηλά ανεβαίνει προς τα πίσω. Ένας κύκλος με μεγαλύτερη διάμετρο θα έχει μεγαλύτερη περιφέρεια. Εάν αυξήσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή (Χ, όπως η διάμετρος του κύκλου ή το ύψος της πτώσης της μπάλας), η εξαρτώμενη μεταβλητή αυξάνεται επίσης και το αντίστροφο.
Μια άμεση σχέση είναι γραμμική. Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι
C = πD
όπου ντο σημαίνει περιφέρεια και ρε σημαίνει διάμετρο. Το Pi είναι πάντα το ίδιο, οπότε αν διπλασιάσετε την τιμή του ρε, η αξία του ντο διπλασιάζεται επίσης. Εάν σχεδιάσατε ένα γράφημα αυτής της σχέσης, θα ισοδυναμούσε με μια ευθεία γραμμή με μηδενική περιφέρεια στο ρε = 0, 3,14 στις ρε = 1 και 31,4 στις ρε = 10. Η κλίση του γραφήματος σας λέει την τιμή της σταθεράς.
Αντίστροφες σχέσεις
Οι αντίστροφες σχέσεις λειτουργούν διαφορετικά. Εάν αυξήσετε Χ, η αξία του ε μειώνεται. Για παράδειγμα, εάν μετακινηθείτε πιο γρήγορα στον προορισμό σας, ο χρόνος ταξιδιού σας θα μειωθεί. Σε αυτό το παράδειγμα, Χ είναι η ταχύτητά σας και ε είναι ο χρόνος ταξιδιού. Ο διπλασιασμός της ταχύτητάς σας στο μισό του χρόνου ταξιδιού και η αύξηση της ταχύτητας κατά δέκα φορές καθιστά το χρόνο διαδρομής δέκα φορές μικρότερο.
Μαθηματικά, αυτός ο τύπος σχέσης έχει τη μορφή:
y = \ frac {k} {x}
όπου κ είναι κάποια σταθερή (γεμίζοντας τον ίδιο ρόλο με το pi στο παράδειγμα άμεσης σχέσης). Ωστόσο, οι αντίστροφες σχέσεις δεν είναι ευθείες γραμμές. Καθώς αρχίζετε να αυξάνετε Χ, ε μειώνεται πολύ γρήγορα, αλλά καθώς συνεχίζετε να αυξάνετε Χ το ποσοστό μείωσης των ε γίνεται πιο αργή.
Για παράδειγμα, εάν Χ είναι το μήκος ενός ζεύγους πλευρών ενός ορθογωνίου, ε είναι το μήκος του άλλου ζεύγους πλευρών, και κ είναι η περιοχή, ο τύπος κ = xy είναι έγκυρο, έτσι ε = κ ÷ Χ. Σε αυτήν την περίπτωση, ε σχετίζεται αντιστρόφως με Χ. Για μια περιοχή κ = 12, αυτό δίνει:
y = \ frac {12} {x}
Για Χ = 3, αυτό δείχνει ε = 4. Για Χ = 6, τότε ε = 2. Για Χ = 12, τότε ε = 1. Αρχικά μια αύξηση 3 σε Χ μειώνεται ε κατά 2, αλλά μετά αύξηση 6 σε Χ μειώνεται μόνο ε από 1. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι αντίστροφες σχέσεις μειώνουν τις καμπύλες που γίνονται πιο ρηχές όσο προχωράτε.
Άμεση εναντίον Αντίστροφες σχέσεις: Η διαφορά
Στις άμεσες σχέσεις, μια αύξηση σε Χ οδηγεί σε αντίστοιχη αύξηση μεγέθους ε, και μια μείωση έχει το αντίθετο αποτέλεσμα. Αυτό δημιουργεί ένα γράφημα ευθείας γραμμής. Σε αντίστροφες σχέσεις, αυξάνεται Χ οδηγεί σε αντίστοιχη μείωση του ε, και μείωση σε Χ οδηγεί σε αύξηση ε. Αυτό κάνει ένα καμπύλο γράφημα όπου η πτώση είναι γρήγορη στην αρχή, αλλά γίνεται πιο αργή για μεγαλύτερες τιμές Χ.