Οι ρυθμοί αλλαγής εμφανίζονται παντού στην επιστήμη και ειδικά στη φυσική μέσω ποσοτήτων όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Τα παράγωγα περιγράφουν το ρυθμό μεταβολής μιας ποσότητας σε σχέση με μια άλλη μαθηματικά, αλλά υπολογίζει μερικές φορές μπορεί να είναι περίπλοκες και μπορεί να σας παρουσιάζεται ένα γράφημα και όχι μια συνάρτηση στην εξίσωση μορφή. Εάν σας παρουσιάζεται ένα γράφημα μιας καμπύλης και πρέπει να βρείτε το παράγωγο από αυτό, ίσως να μην μπορείτε να είστε τόσο ακριβείς όσο με μια εξίσωση, αλλά μπορείτε εύκολα να κάνετε μια σταθερή εκτίμηση.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Επιλέξτε ένα σημείο στο γράφημα για να βρείτε την τιμή του παραγώγου στο.
Σχεδιάστε μια ευθεία εφαπτομένη στην καμπύλη του γραφήματος σε αυτό το σημείο.
Πάρτε την κλίση αυτής της γραμμής για να βρείτε την τιμή του παραγώγου στο σημείο που έχετε επιλέξει στο γράφημα.
Εκτός από την αφηρημένη ρύθμιση της διαφοροποίησης μιας εξίσωσης, μπορεί να είστε λίγο μπερδεμένοι σχετικά με το τι είναι πραγματικά ένα παράγωγο. Στην άλγεβρα, ένα παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μια εξίσωση που σας λέει την τιμή της «κλίσης» της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο. Με άλλα λόγια, σας λέει πόσο αλλάζει μια ποσότητα δεδομένης μιας μικρής αλλαγής στην άλλη. Σε ένα γράφημα, η κλίση ή η κλίση της γραμμής σας λέει πόσο εξαρτάται η μεταβλητή (τοποθετείται στο
Για γραφήματα ευθείας γραμμής, καθορίζετε τον (σταθερό) ρυθμό μεταβολής υπολογίζοντας την κλίση του γραφήματος. Οι σχέσεις που περιγράφονται με καμπύλες δεν είναι τόσο εύκολο να αντιμετωπιστούν, αλλά η αρχή ότι το παράγωγο σημαίνει μόνο την κλίση (σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο) εξακολουθεί να ισχύει.
Για σχέσεις που περιγράφονται από καμπύλες, το παράγωγο παίρνει μια διαφορετική τιμή σε κάθε σημείο κατά μήκος της καμπύλης. Για να εκτιμήσετε το παράγωγο του γραφήματος, πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο για να πάρετε το παράγωγο στο. Για παράδειγμα, εάν έχετε ένα γράφημα που δείχνει την απόσταση που διανύθηκε σε σχέση με το χρόνο, σε ένα γράφημα ευθείας γραμμής, η κλίση θα σας έλεγε τη σταθερή ταχύτητα. Για ταχύτητες που αλλάζουν με το χρόνο, το γράφημα θα ήταν μια καμπύλη, αλλά μια ευθεία γραμμή που αγγίζει ακριβώς το καμπύλη σε ένα σημείο (μια γραμμή εφαπτομενική προς την καμπύλη) αντιπροσωπεύει το ρυθμό μεταβολής σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο.
Επιλέξτε ένα σημείο στο οποίο πρέπει να γνωρίζετε το παράγωγο στο. Χρησιμοποιώντας την απόσταση που διανύθηκε έναντι παράδειγμα χρόνου, επιλέξτε την ώρα κατά την οποία θέλετε να γνωρίζετε την ταχύτητα του ταξιδιού. Εάν πρέπει να γνωρίζετε την ταχύτητα σε διάφορα σημεία, μπορείτε να εκτελέσετε αυτήν τη διαδικασία για κάθε μεμονωμένο σημείο. Εάν θέλετε να μάθετε την ταχύτητα 15 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της κίνησης, επιλέξτε το σημείο στην καμπύλη στα 15 δευτερόλεπτα στοΧ-άξονας.
Σχεδιάστε μια γραμμή εφαπτομενική στην καμπύλη στο σημείο που σας ενδιαφέρει. Πάρτε το χρόνο σας όταν το κάνετε αυτό, επειδή είναι το πιο σημαντικό και πιο δύσκολο μέρος της διαδικασίας. Η εκτίμησή σας θα είναι καλύτερη αν σχεδιάσετε μια πιο ακριβή εφαπτομενική γραμμή. Κρατήστε έναν χάρακα μέχρι το σημείο της καμπύλης και προσαρμόστε τον προσανατολισμό του, έτσι ώστε η γραμμή που σχεδιάζετεμόνοαγγίξτε την καμπύλη στο μοναδικό σημείο που σας ενδιαφέρει.
Σχεδιάστε τη γραμμή σας όσο το επιτρέπει το γράφημα. Βεβαιωθείτε ότι μπορείτε εύκολα να διαβάσετε δύο τιμές και για τις δύοΧκαιγσυντεταγμένες, μία κοντά στην αρχή της γραμμής σας και μία κοντά στο τέλος. Δεν χρειάζεται απολύτως να σχεδιάσετε μια μεγάλη γραμμή (τεχνικά οποιαδήποτε ευθεία γραμμή είναι κατάλληλη), αλλά οι μακρύτερες γραμμές τείνουν να είναι ευκολότερες για τη μέτρηση της κλίσης.
Εντοπίστε δύο θέσεις στη γραμμή σας και σημειώστε τοΧκαιγσυντεταγμένες για αυτούς. Για παράδειγμα, φανταστείτε την εφαπτομένη γραμμή σας ως δύο αξιοσημείωτα σημεία στοΧ = 1, γ= 3 καιΧ = 10, γ= 30, τα οποία μπορείτε να καλέσετε Σημείο 1 και Σημείο 2. Χρησιμοποιώντας τα σύμβολαΧ1 καιγ1 να αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου καιΧ2 καιγ2 να αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες του δεύτερου σημείου, την κλίσηΜδίνεται από:
m = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
Αυτό σας λέει το παράγωγο της καμπύλης στο σημείο όπου η γραμμή αγγίζει την καμπύλη. Στο παράδειγμα,Χ1 = 1, Χ2 = 10, γ1 = 3 καιγ2 = 30, έτσι:
\ begin {aligned} m & = \ frac {30 - 3} {10 - 1} \\ \, \\ & = \ frac {27} {9} \\ \, \\ & = 9 \ τέλος {στοίχιση}
Στο παράδειγμα, αυτό το αποτέλεσμα θα ήταν η ταχύτητα στο επιλεγμένο σημείο. Έτσι, εάν τοΧ-ο άξονας μετρήθηκε σε δευτερόλεπτα και τογ- ο άξονας μετρήθηκε σε μέτρα, το αποτέλεσμα θα σήμαινε ότι το εν λόγω όχημα ταξίδευε με ταχύτητα 3 μέτρων ανά δευτερόλεπτο. Ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη ποσότητα που υπολογίζετε, η διαδικασία εκτίμησης του παραγώγου είναι η ίδια.