Πώς να υπολογίσετε συνδυασμούς και παραλλαγές

Ας υποθέσουμε ότι έχετε n τύπους αντικειμένων και θέλετε να επιλέξετε μια συλλογή από αυτά. Μπορεί να θέλουμε αυτά τα αντικείμενα σε κάποια συγκεκριμένη σειρά. Καλούμε αυτά τα σύνολα παραλλαγών στοιχείων. Εάν η παραγγελία δεν έχει σημασία, καλούμε το σύνολο συνδυασμών συλλογών. Και για τους δύο συνδυασμούς και παραλλαγές, μπορείτε να εξετάσετε την περίπτωση στην οποία επιλέγετε μερικούς από τους τύπους n περισσότερο από μία φορά, που ονομάζεται «με επανάληψη», ή την περίπτωση στην οποία επιλέγετε κάθε τύπο μόνο μία φορά, η οποία ονομάζεται «όχι επανάληψη'. Ο στόχος είναι να είναι σε θέση να μετρήσει τον αριθμό των συνδυασμών ή των πιθανών παραλλαγών σε μια δεδομένη κατάσταση.

Η συνθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται συχνά κατά τον υπολογισμό συνδυασμών και παραλλαγών. Ν! σημαίνει N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Για παράδειγμα, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Ο αριθμός των τρόπων παραγγελίας ενός συνόλου αντικειμένων είναι παραγοντικός. Πάρτε τα τρία γράμματα a, b και c. Έχετε τρεις επιλογές για το πρώτο γράμμα, δύο για το δεύτερο και μόνο μία για το τρίτο. Με άλλα λόγια, συνολικά 3 × 2 × 1 = 6 παραγγελίες. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν n! τρόποι παραγγελίας n αντικειμένων.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε τρία δωμάτια που πρόκειται να βάψετε και το καθένα θα είναι χρωματισμένο ένα από τα πέντε χρώματα: κόκκινο (r), πράσινο (g), μπλε (b), κίτρινο (y) ή πορτοκαλί (o). Μπορείτε να επιλέξετε κάθε χρώμα όσες φορές θέλετε. Έχετε πέντε χρώματα για να διαλέξετε για το πρώτο δωμάτιο, πέντε για το δεύτερο και πέντε για το τρίτο. Αυτό δίνει συνολικά 5 × 5 × 5 = 125 δυνατότητες. Γενικά, ο αριθμός των τρόπων επιλογής μιας ομάδας αντικειμένων r σε μια συγκεκριμένη σειρά από n επαναλαμβανόμενες επιλογές είναι n ^ r.

Ας υποθέσουμε ότι κάθε δωμάτιο θα έχει διαφορετικό χρώμα. Μπορείτε να επιλέξετε από πέντε χρώματα για το πρώτο δωμάτιο, τέσσερα για το δεύτερο και μόνο τρία για το τρίτο. Αυτό δίνει 5 × 4 × 3 = 60, που τυχαίνει να είναι 5! / 2!. Γενικά, ο αριθμός ανεξάρτητων τρόπων επιλογής αντικειμένων r με συγκεκριμένη σειρά από n μη επαναλαμβανόμενες επιλογές είναι n! / (N – r) !.

Στη συνέχεια, ξεχάστε ποιο δωμάτιο είναι ποιο χρώμα. Απλώς επιλέξτε τρία ανεξάρτητα χρώματα για το συνδυασμό χρωμάτων. Η παραγγελία δεν έχει σημασία εδώ, έτσι (κόκκινο, πράσινο, μπλε) είναι το ίδιο με (κόκκινο, μπλε, πράσινο). Για οποιαδήποτε επιλογή τριών χρωμάτων υπάρχουν 3! τρόπους με τους οποίους μπορείτε να τα παραγγείλετε. Έτσι μειώνετε τον αριθμό των παραλλαγών κατά 3! για να λάβετε 5! / (2! × 3!) = 10. Γενικά, μπορείτε να επιλέξετε μια ομάδα αντικειμένων r με οποιαδήποτε σειρά από μια επιλογή n μη επαναλαμβανόμενων επιλογών με τρόπους n! / [(N – r)! × r!].

Τέλος, πρέπει να δημιουργήσετε ένα συνδυασμό χρωμάτων στο οποίο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε χρώμα όσες φορές θέλετε. Ένας έξυπνος κωδικός τήρησης βιβλίων βοηθά αυτό το έργο καταμέτρησης. Χρησιμοποιήστε τρία X για την αναπαράσταση των δωματίων. Η λίστα χρωμάτων σας αντιπροσωπεύεται από το "rgbyo". Ανακατέψτε τα Xs στη λίστα χρωμάτων σας και συσχετίστε κάθε X με το πρώτο χρώμα στα αριστερά του. Για παράδειγμα, το rgXXbyXo σημαίνει ότι το πρώτο δωμάτιο είναι πράσινο, το δεύτερο είναι πράσινο και το τρίτο είναι κίτρινο. Ένα X πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα χρώμα προς τα αριστερά, οπότε υπάρχουν πέντε διαθέσιμες υποδοχές για το πρώτο X. Επειδή η λίστα περιλαμβάνει τώρα ένα X, υπάρχουν έξι διαθέσιμες θέσεις για το δεύτερο X και επτά διαθέσιμες θέσεις για το τρίτο X. Συνολικά, υπάρχουν 5 × 6 × 7 = 7! / 4! τρόποι σύνταξης του κώδικα. Ωστόσο, η σειρά των δωματίων είναι αυθαίρετη, οπότε υπάρχουν πραγματικά μόνο μοναδικές ρυθμίσεις 7! / (4! × 3!). Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να επιλέξετε αντικείμενα r με οποιαδήποτε σειρά από n επαναλαμβανόμενες επιλογές με (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Τρόπους.