Ο έλεγχος των εννοιών του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της τριγωνομετρίας. Αλλά όταν έχετε αυτές τις ιδέες κάτω από τη ζώνη σας, γίνονται τα δομικά στοιχεία για άλλα χρήσιμα εργαλεία στην τριγωνομετρία και, αργότερα, λογισμός. Για παράδειγμα, ο "νόμος των συνημίτων" είναι ένας ειδικός τύπος που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να βρείτε την ελλείπουσα πλευρά ενός τριγώνου, αν γνωρίζετε το μήκος των άλλων δύο πλευρών συν τη γωνία μεταξύ τους ή για να βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου όταν γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές.
Ο νόμος των συνημίτων
Ο νόμος των συνημίτων έρχεται σε διάφορες εκδόσεις, ανάλογα με τις γωνίες ή τις πλευρές του τριγώνου που αντιμετωπίζετε:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = α ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Σε κάθε περίπτωση,ένα, σικαιντοείναι οι πλευρές ενός τριγώνου, καιΕΝΑ, σι, ήντοείναι η γωνία απέναντι από την πλευρά του ίδιου γράμματος. ΈτσιΕΝΑείναι η γωνία αντίθετη πλευράα, Β
είναι η γωνία αντίθετη πλευράσι, καιντοείναι η γωνία αντίθετη πλευράντο. Αυτή είναι η μορφή της εξίσωσης που χρησιμοποιείτε αν βρίσκετε το μήκος μιας από τις πλευρές του τριγώνου.Ο νόμος των συνημίτων μπορεί επίσης να ξαναγραφεί σε εκδόσεις που διευκολύνουν την εύρεση οποιασδήποτε από τις τρεις γωνίες του τριγώνου, υποθέτοντας ότι γνωρίζετε τα μήκη και των τριών πλευρών του τριγώνου:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Επίλυση για μια πλευρά
Για να χρησιμοποιήσετε το νόμο των συνημίτων για την επίλυση της πλευράς ενός τριγώνου, χρειάζεστε τρία κομμάτια πληροφοριών: τα μήκη των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου, συν τη γωνία μεταξύ τους. Επιλέξτε την έκδοση του τύπου όπου η πλευρά που θέλετε να βρείτε βρίσκεται στα αριστερά της εξίσωσης και οι πληροφορίες που έχετε ήδη βρίσκονται στα δεξιά. Αν θέλετε να βρείτε το μήκος της πλευράςένα, θα χρησιμοποιούσατε την έκδοση
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (Α)
Αντικαταστήστε τις τιμές των δύο γνωστών πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους, στον τύπο. Εάν το τρίγωνό σας έχει γνωστές πλευρέςσικαιντοπου μετρούν 5 μονάδες και 6 μονάδες αντίστοιχα και η γωνία μεταξύ τους μετρά 60 μοίρες (που μπορεί επίσης να εκφράζεται σε ακτίνια ως π / 3), θα έχετε:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Χρησιμοποιήστε έναν πίνακα ή την αριθμομηχανή σας για να αναζητήσετε την τιμή του συνημίτονου σε αυτήν την περίπτωση, cos (60) = 0,5, δίνοντάς σας την εξίσωση:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Απλοποιήστε το αποτέλεσμα του βήματος 2. Αυτό σας δίνει:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Το οποίο με τη σειρά του απλοποιεί:
a ^ 2 = 31
Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να ολοκληρώσετε την επίλυσηένα. Αυτό σας αφήνει με:
α = \ sqrt {31}
Ενώ θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε ένα γράφημα ή την αριθμομηχανή σας για να εκτιμήσετε την τιμή √31 (είναι 5.568), συχνά θα σας επιτρέπεται - και ακόμη και να ενθαρρύνετε - να αφήσετε την απάντηση στην πιο ακριβή ριζική του μορφή.
Επίλυση γωνίας
Μπορείτε να εφαρμόσετε την ίδια διαδικασία για να βρείτε οποιαδήποτε από τις γωνίες του τριγώνου εάν γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές του. Αυτή τη φορά, θα επιλέξετε την έκδοση του τύπου που βάζει τη γωνία που λείπει ή "δεν το ξέρω" στην αριστερή πλευρά του σημείου ίσο. Φανταστείτε ότι θέλετε να βρείτε το μέτρο της γωνίας C (το οποίο, θυμηθείτε, ορίζεται ως η γωνία απέναντι πλευράντο). Θα χρησιμοποιούσατε αυτήν την έκδοση του τύπου:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Αντικαταστήστε τις γνωστές τιμές - σε αυτόν τον τύπο προβλήματος, που σημαίνει τα μήκη και των τριών πλευρών του τριγώνου - στην εξίσωση. Για παράδειγμα, αφήστε τις πλευρές του τριγώνου σαςένα= 3 μονάδες,σι= 4 μονάδες καιντο= 25 μονάδες. Έτσι η εξίσωση γίνεται:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Μόλις απλοποιήσετε την προκύπτουσα εξίσωση, θα έχετε:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
ή απλά cos (ντο) = 0.
Υπολογίστε το αντίστροφο συνημίτονο ή το συνημίτονο τόξου 0, που συχνά σημειώνεται ως cos-1(0). Ή, με άλλα λόγια, ποια γωνία έχει συνημίτονο 0; Υπάρχουν στην πραγματικότητα δύο γωνίες που επιστρέφουν αυτήν την τιμή: 90 μοίρες και 270 μοίρες. Αλλά εξ ορισμού γνωρίζετε ότι κάθε γωνία σε ένα τρίγωνο πρέπει να είναι μικρότερη από 180 μοίρες, έτσι ώστε να αφήνει μόνο 90 μοίρες ως επιλογή.
Έτσι, το μέτρο της γωνίας που λείπει είναι 90 μοίρες, πράγμα που σημαίνει ότι τυχαίνει να ασχολείστε με ένα δεξί τρίγωνο, αν και αυτή η μέθοδος λειτουργεί και με τα μη σωστά τρίγωνα.