Ο νόμος των ημιτονοειδών είναι ένας τύπος που συγκρίνει τη σχέση μεταξύ των γωνιών ενός τριγώνου και του μήκους των πλευρών του. Εφόσον γνωρίζετε τουλάχιστον δύο πλευρές και μία γωνία, ή δύο γωνίες και μία πλευρά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον νόμο των ημιτονοειδών για να βρείτε τα υπόλοιπα στοιχεία που λείπουν για το τρίγωνό σας. Ωστόσο, σε ένα πολύ περιορισμένο σύνολο περιστάσεων μπορείτε να καταλήξετε σε δύο απαντήσεις στο μέτρο μιας γωνίας. Αυτό είναι γνωστό ως η διφορούμενη περίπτωση του νόμου των ημιτονοειδών.
Όταν μπορεί να συμβεί η ασαφής υπόθεση
Η διφορούμενη περίπτωση του νόμου των ημιτονοειδών μπορεί να συμβεί μόνο εάν το τμήμα "γνωστών πληροφοριών" του τριγώνου σας αποτελείται από δύο πλευρές και μια γωνία, όπου η γωνία είναιδενμεταξύ των δύο γνωστών πλευρών. Αυτό μερικές φορές συντομεύεται ως SSA ή τρίγωνο πλευρικής-γωνίας. Εάν η γωνία ήταν μεταξύ των δύο γνωστών πλευρών, θα συντομεύτηκε ως τρίγωνο SAS ή side-angle-side και η αμφίσημη περίπτωση δεν θα ισχύει.
Μια ανακεφαλαίωση του νόμου των ημιτονοειδών
Ο νόμος των ημιτόνων μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους. Η πρώτη φόρμα είναι κατάλληλη για την εύρεση των μέτρων των πλευρών που λείπουν:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
Η δεύτερη φόρμα είναι κατάλληλη για την εύρεση των μετρήσεων των γωνιών που λείπουν:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Σημειώστε ότι και οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες. Η χρήση μιας φόρμας ή της άλλης δεν θα αλλάξει το αποτέλεσμα των υπολογισμών σας. Τους κάνει πιο εύκολο να δουλέψουν ανάλογα με τη λύση που ψάχνετε.
Πώς μοιάζει η διφορούμενη υπόθεση
Στις περισσότερες περιπτώσεις, η μόνη ένδειξη ότι μπορεί να έχετε μια διφορούμενη θήκη στα χέρια σας είναι η παρουσία ενός τριγώνου SSA όπου σας ζητείται να βρείτε μία από τις γωνίες που λείπουν. Φανταστείτε ότι έχετε ένα τρίγωνο με γωνίαΕΝΑ= 35 μοίρες, πλάγιαένα= 25 μονάδες και πλάγιασι= 38 μονάδες και σας ζητήθηκε να βρείτε τη μέτρηση της γωνίαςσι. Μόλις βρείτε τη γωνία που λείπει, πρέπει να ελέγξετε αν ισχύει η αμφίσημη υπόθεση.
Εισαγάγετε τις γνωστές πληροφορίες σας στον νόμο των ημιτονοειδών. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμα, αυτό σας δίνει:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Αγνοήστε την αμαρτία (ντο)/ντο; είναι άσχετο για τους σκοπούς αυτού του υπολογισμού. Έτσι, έχετε:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
Λύστε γιασι. Μια επιλογή είναι να κάνετε πολλαπλό πολλαπλασιασμό. αυτό σας δίνει:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
Στη συνέχεια, απλοποιήστε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή ένα γράφημα για να βρείτε την αξία της αμαρτίας (35). Είναι περίπου 0,57358, το οποίο σας δίνει:
25 × \ sin (B) = 38 × 0,57358
που απλοποιεί:
25 × \ sin (B) = 21.79604
Στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25 για να απομονώσετε την αμαρτία (σι, δίνοντάς σας:
\ sin (B) = 0,8718416
Για να ολοκληρώσετε την επίλυση γιασι, πάρτε το τόξο ή το αντίστροφο ημίτονο 0,8718416. Ή, με άλλα λόγια, χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή ή το γράφημα για να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή μιας γωνίας Β που έχει το ημιτονοειδές 0,8718416. Αυτή η γωνία είναι περίπου 61 μοίρες.
Ελέγξτε για τη διφορούμενη περίπτωση
Τώρα που έχετε μια αρχική λύση, ήρθε η ώρα να ελέγξετε για τη διφορούμενη περίπτωση. Αυτή η περίπτωση εμφανίζεται επειδή για κάθε οξεία γωνία, υπάρχει μια ασαφής γωνία με το ίδιο ημίτονο. Έτσι, ενώ ~ 61 μοίρες είναι η οξεία γωνία που έχει ημιτονοειδές 0,8718416, πρέπει επίσης να θεωρήσετε την αμβλεία γωνία ως πιθανή λύση. Αυτό είναι λίγο δύσκολο επειδή η αριθμομηχανή σας και το διάγραμμα των ημιτονοειδών τιμών πιθανότατα δεν θα σας πουν για την ασαφή γωνία, οπότε πρέπει να θυμάστε να το ελέγξετε.
Βρείτε την αμβλεία γωνία με το ίδιο ημίτονο, αφαιρώντας τη γωνία που βρήκατε - 61 μοίρες - από 180. Έτσι έχετε 180 - 61 = 119. Έτσι, οι 119 μοίρες είναι η ασαφής γωνία που έχει το ίδιο ημίτονο με 61 μοίρες. (Μπορείτε να το ελέγξετε με αριθμομηχανή ή ημιτονοειδές γράφημα.)
Αλλά αυτή η ασαφής γωνία θα δημιουργήσει ένα έγκυρο τρίγωνο με τις άλλες πληροφορίες που έχετε; Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε προσθέτοντας τη νέα, αόριστη γωνία στην "γνωστή γωνία" που σας δόθηκε στο αρχικό πρόβλημα. Εάν το σύνολο είναι μικρότερο από 180 μοίρες, η αόριστη γωνία αντιπροσωπεύει μια έγκυρη λύση και θα πρέπει να συνεχίσετε περαιτέρω υπολογισμούς μεκαι τα δυοέγκυρα τρίγωνα υπό εξέταση. Εάν το σύνολο είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες, η αόριστη γωνία δεν αντιπροσωπεύει μια έγκυρη λύση.
Σε αυτήν την περίπτωση η "γνωστή γωνία" ήταν 35 μοίρες, και η πρόσφατα ανακαλυφθείσα αμβλεία γωνία ήταν 119 μοίρες. Έτσι έχετε:
119 + 35 = 154 \ κείμενο {μοίρες}
Επειδή 154 μοίρες <180 μοίρες, ισχύει η αμφίσημη θήκη και έχετε δύο έγκυρες λύσεις: Η εν λόγω γωνία μπορεί να μετρήσει 61 μοίρες ή μπορεί να μετρήσει 119 μοίρες.