Πώς να βρείτε κάθετα και οριζόντια ασυμπτώματα

Όταν εκφράζονται σε γράφημα, ορισμένες συναρτήσεις είναι συνεχείς από αρνητικό άπειρο έως θετικό άπειρο. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει πάντα: άλλες λειτουργίες διακόπτονται σε σημείο ασυνέχειας ή απενεργοποιούνται και δεν το κάνουν ποτέ πέρα ​​από ένα συγκεκριμένο σημείο στο γράφημα. Οι κάθετες και οριζόντιες ασυμπτωτές είναι ευθείες γραμμές που καθορίζουν την τιμή που πλησιάζει μια δεδομένη συνάρτηση εάν δεν εκτείνεται στο άπειρο σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα οριζόντια ασυμπτωτικά ακολουθούν πάντα τον τύπο y = C, ενώ τα κάθετα ασυμπτώματα θα ακολουθούν πάντα τον παρόμοιο τύπο x = C, όπου η τιμή C αντιπροσωπεύει οποιαδήποτε σταθερά. Η εύρεση ασυμπτωτικών, ανεξάρτητα από το αν αυτά τα ασυμπτώματα είναι οριζόντια ή κάθετα, είναι εύκολη υπόθεση αν ακολουθήσετε μερικά βήματα.

Για να βρείτε ένα κατακόρυφο ασυμπτωματικό, γράψτε πρώτα τη συνάρτηση στην οποία θέλετε να προσδιορίσετε το ασυμπτωματικό. Πιθανότατα, αυτή η συνάρτηση θα είναι μια λογική συνάρτηση, όπου η μεταβλητή x περιλαμβάνεται κάπου στον παρονομαστή. Κατά κανόνα, όταν ο παρονομαστής μιας ορθολογικής συνάρτησης πλησιάζει το μηδέν, έχει κάθετο ασυμπτωματικό. Μόλις διαγράψετε τη λειτουργία σας, βρείτε την τιμή του x που κάνει τον παρονομαστή ίσο με το μηδέν. Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση με την οποία εργάζεστε είναι y = 1 / (x + 2), θα λύσετε την εξίσωση x + 2 = 0, μια εξίσωση που έχει την απάντηση x = -2. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία πιθανές λύσεις για πιο σύνθετες λειτουργίες.

Μόλις βρείτε την τιμή x της συνάρτησής σας, πάρτε το όριο της συνάρτησης καθώς το x πλησιάζει την τιμή που βρήκατε και από τις δύο κατευθύνσεις. Για αυτό το παράδειγμα, καθώς το x πλησιάζει -2 από τα αριστερά, y πλησιάζει το αρνητικό άπειρο. όταν το -2 προσεγγίζεται από τα δεξιά, y πλησιάζει το θετικό άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης διαχωρίζεται στην ασυνέχεια, μεταβαίνοντας από το αρνητικό άπειρο στο θετικό άπειρο. Εάν εργάζεστε με μια πιο περίπλοκη λειτουργία που έχει περισσότερες από μία πιθανές λύσεις, θα πρέπει να λάβετε το όριο κάθε πιθανής λύσης. Τέλος, γράψτε τις εξισώσεις των κάθετων ασυμπτωτικών της συνάρτησης ρυθμίζοντας το x ίσο με καθεμία από τις τιμές που χρησιμοποιούνται στα όρια. Για αυτό το παράδειγμα, υπάρχει μόνο ένα ασυμπτωματικό: με την εξίσωση, το κατακόρυφο ασυμπτωματικό είναι ίσο με x = -2.

Ενώ οι κανόνες οριζόντιων ασυμπτωτικών μπορεί να είναι ελαφρώς διαφορετικοί από εκείνους των κάθετων ασυμπτωτικών, η διαδικασία εύρεσης οριζόντιων ασυμπτωτών είναι εξίσου απλή με την εύρεση κάθετων. Ξεκινήστε γράφοντας τη λειτουργία σας. Τα οριζόντια ασυμπτώματα βρίσκονται σε μια ευρεία ποικιλία λειτουργιών, αλλά πιθανότατα θα βρεθούν και σε ορθολογικές συναρτήσεις. Για αυτό το παράδειγμα, η συνάρτηση είναι y = x / (x-1). Πάρτε το όριο της συνάρτησης καθώς το x πλησιάζει το άπειρο. Σε αυτό το παράδειγμα, το "1" μπορεί να αγνοηθεί επειδή γίνεται ασήμαντο καθώς το x πλησιάζει το άπειρο (επειδή το άπειρο μείον 1 είναι ακόμα άπειρο). Έτσι, η συνάρτηση γίνεται x / x, που ισούται με 1. Επομένως, το όριο καθώς το x πλησιάζει το άπειρο του x / (x-1) είναι ίσο με το 1.

Χρησιμοποιήστε τη λύση του ορίου για να γράψετε την ασυμπτωματική σας εξίσωση. Εάν η λύση είναι μια σταθερή τιμή, υπάρχει ένα οριζόντιο ασυμπτωματικό, αλλά εάν η λύση είναι άπειρο, δεν υπάρχει οριζόντιο ασυμπτωματικό. Εάν η λύση είναι μια άλλη λειτουργία, υπάρχει ένα ασυμπτωματικό, αλλά δεν είναι ούτε οριζόντια ούτε κάθετη. Για αυτό το παράδειγμα, το οριζόντιο ασυμπτωματικό είναι y = 1.

Όταν αντιμετωπίζετε προβλήματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις που έχουν ασυμπτώματα, μην ανησυχείτε: η εύρεση ασυμπτωτικών για αυτές τις συναρτήσεις είναι ως απλή ακολουθώντας τα ίδια βήματα που χρησιμοποιείτε για την εύρεση των οριζόντιων και κάθετων ασυμπτωτικών ορθολογικών λειτουργιών, χρησιμοποιώντας τα διάφορα όρια. Ωστόσο, όταν το επιχειρείτε, είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσετε ότι οι συναρτήσεις trig είναι κυκλικές και, ως εκ τούτου, μπορεί να έχουν πολλά ασυμπτώματα.